A Global Glance on Categories in Logic

Abstract

We explore the possibility and some potential payoffs of using the theory of accessible categories in the study of categories of logics. We illustrate this by two case studies focusing on the category of finitary structural logics and its subcategory of algebraizable logics.

Alguns comentários sobre a questão da identidade entre lógicas

“…Posteriormente os aspectos "globais"das categorias de lógicas, que garantem por exemplo a abundância (ou escassez) de construções -algo fundamental para os processos de combinações de lógicas -estabeleceu-se como projeto de investigação complementar ao desta corrente principal. Dentre os trabalhos nesta linha, e que têm em comum essa natureza mais simples de apresentar os sistemas lógicos enquanto objetos, listamos: [22], [1], [16], [33], [5].…”

“…Em [1], além da representação simples e concreta dos sistemas lógicos por meio de um par formado por uma assinatura e uma relação de consequência tarskiana, tem-se a noção mais simples (porém restrita) e natural possível de morfismo entre assinaturas e de morfismo de tradução induzido entre lógicas: um morfismo (dito estrito) de assinaturas f : Σ Ñ Σ 1é simplesmente uma sequência de funções que, a cada conectivo n-ário da assinatura fonte, Σ, atribui um conectivo n-ário da assinatura alvo, Σ 1 ; este induziria uma funçãof : F Σ pXq Ñ F Σ 1 pXq que, caso preservasse as relações de consequência (i.e. Γ $ φ ñf rΓs $ 1f pφq), determinaria um morfismo (estrito) de lógicas f : pΣ, $q Ñ pΣ 1 , $ 1 q.…”

“…Como já foi mencionado, uma apresentação de uma lógica como colimite de outras pode ser entendido como uma decomposição da lógica em estudo por meio de outras lógicas (conhecidas e/ou bem comportadas), possivelmente auxiliando no entendimento da lógica mais complexa. Em [1] observou-se que a situação onde uma lógica Lé completamente determinada pelas traduções de outras lógicas L i em L pode ser percebida como uma "cobertura" de L pelas lógicas L i ; nesse trabalho transformou-se esta intuição inicial em afirmações matemáticas ao fixar uma categoria de sistemas lógicos e fornecer algumas definições rigorosas da noção de cobertura. Além disso, cada noção de cobertura tomada induz uma topologia de Grothendieck na (essencialmente pequena) subcategoria plena pL s q f p Ď L s formada pelas lógicas finitamente presentáveis.…”

“…Prosseguindo neste ponto de vista global da lógica, estudou-se em [1] uma categoria cujos objetos são as lógicas algebrizáveis no senso de Blok-Pigozzi 7 (veja [12]). Demonstrouse que a categoria A s , formada pelas lógicas Blok-Pigozzi algebrizáveis com morfismos tomados como os morfismos estritos de lógicas e que também preservam pares algebrizadores (i.e.…”

“…Como mencionamos, foram apresentados em [1] os primeiros passos para se adotar a perspectiva global em Lógica (e se obter informações relevantes a partir desta abordagem) ao tomar escolhas simples e naturais de categorias de assinaturas e de sistemas lógicos. Contudo, na prática, essas escolhas se revelam muito restritivas: tratando de forma inadequada o problema da identidade de sistemas lógicos.…”