A Fast Multipole Method formulation for 3D elastodynamics in the frequency domain

Abstract

To cite this version:Stéphanie Chaillat, Marc Bonnet, J. F. Semblat. A Fast Multipole Method formulation for 3D elastodynamics in the frequency domain. Comptes Rendus Mécanique, Elsevier Masson, 2007, 335, pp.709-714 RésuméMéthode Multipôle Rapide pour l'élastodynamique 3D en domaine fréquentiel. La résolution deś equations de l'élastodynamique par la méthode deséléments de frontière (BEM) conduità un système linéaire plein. Des travaux récents sur leséquations de Helmholtz et Maxwell ontétabli la capacité de la méthode multipôle rapide (FM)à réduire la complexité de la BEMà N log 2 N par itération d'un solveur de type GMRES. Cette Note présente l'extension de l'approche FM-BEMà l'élastodynamique 3D dans le domaine fréquentiel. La précision et l'efficacité de la méthode sont illustrées sur des exemples numériques mobilisant jusqu'à N = O(10 6 ) inconnues nodales. Pour citer cet article : S. Chaillat, M. Bonnet, J.F. Semblat, C. R. Mecanique 335 (2007 La BEM pour l'élastodynamique consisteà exploiter la formule de représentation intégrale (1) et l'équation intégrale (4). Les tenseurs de Greenélastodynamiques (2) s'exprimantà l'aide de la solutionélémentaire (3) de l'équation de Helmholtz (pour les nombres d'onde de compression et de cisaillement), ils peuventêtre reformulés en termes du développement en série de multipôles (5), déjà utilisé enélectromagnétisme [4,8]. La séparation des variables x et y ainsi introduite permet la réutilisation d'intégrations par rapportà y dans (1) ou (4) quand le point de collocation x change, ce qui est impossible en BEM classique. Le développement (5) permet par ailleurs le regroupement de calculs d'influences entre « paquets » de points x et y spatialement séparés, définis dans la procédure numérique au moyen d'un découpage en cellules cubiques de la région d'espace contenant la frontière du domaine analysé. Un découpage non récursif (une seule taille de cellule) mèneà la FMM mono-niveau, qui permet le calcul du produit matrice-vecteur en O(N 3/2 ) opérations. Un perfectionnement supplémentaire consisteà effectuer le découpage en cellules de façon récursive (cellules découpées en sous-cellules, sur plusieurs niveaux) ; la FMM multi-niveaux ainsi définie réduit la complexité précédenteà O(N log 2 N ) opérations (Figure 1). Enfin, le coût mémoire estégalement réduità O(N log 2 N ) (Figure 1) par le fait que seules les contributions correspondant aux interactions proches sont assemblées et conservées.Des tests sur un casà solution exacte connue valident la méthode et montrent sa précision (Table 1). En particulier, l'erreur introduite par la FMM par rapportà la BEM classique (troncature de la série et intégration numérique sur la sphère unité dans (5)) n'ont pas d'incidence pratique sur la qualité du résultat. Cette approche permet ainsi, par exemple dans le domaine de la sismologie, de traiter des configurations plus réalistes et pour un domaine de fréquences plus grand (calcul d'effet de site sismique, figure 3).

Resolution of linear viscoelastic equations in the frequency domain using real Helmholtz boundary integral equations

“…En pratique, la résolution numérique de cette formulation peutêtre effectuée en utilisant les travaux effectués enélastodynamique [14].…”

Well‐conditioned boundary integral formulations for high‐frequency elastic scattering problems in three dimensions

“…(e.g., ) and was adapted to integral equations of wave propagation in the 90s (e.g., ). Recently, the FMM has been extended to linear elasticity by Bonnet, Chaillat and Semblat . The theoretical complexity of the multi‐level FMM is per iteration both for CPU time and memory, where N is the number of DOFs.…”

“…The method has been introduced by Rokhlin et al (e.g., [7]) and was adapted to integral equations of wave propagation in the 90s (e.g., [8][9][10]). Recently, the FMM has been extended to linear elasticity by Bonnet, Chaillat and Semblat [11,12]. The theoretical complexity of the multi-level FMM is O.N log N/ per iteration both for CPU time and memory, where N is the number of DOFs.Preconditioners are prescribed to yield fast convergence independently of both mesh size and frequency.…”

A high order spectral algorithm for elastic obstacle scattering in three dimensions

“…As a third and last test, we compare our algorithm (FSM) with the FMM algorithm [9,10,12] in the low frequency region. We consider the scattering problem of a shearing plane wave, with the above-detailed properties, by a rigid elastic sphere.…”

“…Earlier works in acoustics and electronagnetism lead to a complexity of O(N log 2 N ) in time and memory per iteration. It has recently been extended to linear elasticity by Bonnet, Chaillat and Semblat [9,10,12]. A different kind of compression for the BE matrices can be obtained by applying the adaptive cross approximation (ACA) algorithm to hierarchical matrices [3,4,5].…”