A family of Thue equations involving powers of units of the simplest cubic fields

Abstract

A family of Thue equations involving powers of units of the simplest cubic fields par Claude Levesque et Michel WaldschmidtRésumé. E. Thomas fut l'un des premiers à résoudre une famille infinie d'équations de Thue, lorsqu'il a considéré les formesCette famille est associée à la famille des corps cubiques les plus simples Q(λ) de D. Shanks, λ étant une racine de F n (X, 1). Nous introduisons dans cette famille un second paramètre en remplaçant les racines du polynôme minimal F n (X, 1) de λ par les puissances a-ièmes des racines et nous résolvons de façon effective la famille d'équations de Thue que nous obtenons et qui dépend maintenant des deux paramètres n et a.

Families of Thue Equations Associated With a Rank One Subgroup of the Unit Group of a Number Field

“…Our Theorem 2 also improves the main result of [7]: we remove the assumption that the unit is totally real (besides, the result of [7] is not explicit in terms of the heights and regulator). We also notice that the part (iii) of Theorem 1.1 of [8] follows from our Theorem 2. The main result of [9] does not assume that the twists are done by a group of units of rank 1, but it needs a strong assumption which does not occur here, namely that the field K has at most one real embedding.…”

“…• for the simplest fields of degree 3 (see [8]), and also for the simplest fields of degrees 4 and 6;…”

“…From Lemma 8, we deduce that R > κ 9 . Therefore, there is no loss of generality to assume that, for a sufficiently large constant κ 17 , we have (8) a ≥ κ 17 log |m| + (log λ 0 ) log log λ .…”