A Factorization Theorem for Compact Operators

Randtke, Daniel J.

doi:10.2307/2037928

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“…Equivalent formulations of prop-osition (a), in particular, the coincidence of compact operators with the quasi-oo-nuclear operators of Persson/Pietsch [28, p. 56], have been given in [43, Thm. 1] and in [29].…”

Section: Let X Be a Normed Space Y A Banach Space And Let U E L(x Y)mentioning

confidence: 99%

[Weakly] compact operators and DF spaces

Ruess¹

1982

Pacific J. Math.

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Ruess¹

1982

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Über lokalkonvexe Räume und Operatorenideale

Junek

1976

Mathematische Nachrichten

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Einlei tungViele Satze iiber nukleare, s-nulrleare lokalkonvexe Raume und SCHWARTZraume konnen bewieaen werden, ohne daB man spezielle Eigenschaften nuklearer, 8-nuklearer oder kompakter Operatoren benotigt. Aus dieaem Grunde wurde in [5] eine allgemeine Theorie der lokalkonvexen Rliume vom Typ % (3 ein Ideal linearer bmchriinkter Operatoren zwischen RANAcHraumen) entwickelt. Die wichtigsten Definitionen sowie einige Resultate dieser Theorie findet ma* im Abschnitt 1 der vorliegenden Arbeit. Mit L(%) sei die Klasse aller lokalkonvexen Raume vom Typ % bezeichnet. Sind % und %, zwei Ideale und gilt %&$?I,, so folgt L(91)sL($?II,). Umgekehrt erhebt sich die Frage nach Reziehungen xwischen % und 91,, wenn L(%)SL(!&) gilt. Ein weiteres Problem besteht in der Charakterisierung derjenigen Klassen L von lokalkonvexen Riiumen, fur die es ein Ideal % mit L=L(%) gibt. Die vorliegende Arbeit widmet sich dem weiteren Ausbau der Theorie unter der Voraussetzung, daD % injektiv ist (Definition 1.1). Im Abschnitt 2 wird gezeigt, daB ea auf jedem lokalkonvexen R a u m ( E , P) eine feinste lokalkonvexe Topologie S derart gibt, daB die identischd Abbildung von ( E , P) in ( E , S ) stetig ist und daB ( E , 8) zu L(%) gehort (Theorem 2.2). Die Zuordnung ( E , P) H Y O L ( E ) = = (E, S ) ist funktorieli. Beispiele sind die assoziierte nukleare oder die assoziierte ScFrWAETz-Topologie. Der Funktor Crp, ermoglicht die Definition zweier Ideale $?IIL und A, ( Abschnitt 3, Satz 3.5). Das Ideal A, kann seineneits zur Charakterisierung der Zugehorigkeit einm lokalkonvexen Raumas E zur Klasse L(%) benutzt werden (Satz 3.7). Damit werden bekannte Kriterien fur nukleare und Schwartz-Riume verallgemeinert. Es gilt 'illIL=% genau dann, wenn % 2 = % ist (Theorem 4.2). Solche Ideale heiBen idempotent. Diese Bedingung, die von vielen hekannten Operatorenidealen erfiillt wird, hat weitreichende Konsequenzen : Die oben genannten Fragen konnen in diesem Fall beantwortet werden (Satx 4.6 und Satz 4.7), und die Existenz unirerseller Generatoren fur die Klasse L(%) kann siif die Existenz hinreichend grol3er BANAcHraume mit %-Fortsetzungseigewchaft zuriickgefuhrt werden (Satz 4.12).Die Arbeit schliel3t mit einigen Beispielen und offenen Fragen. 8 Junek. tfber lokelkonvexe Riiume 1. Ittiume vorn Typ 9L Definition 1.1. [6]. Eine .Klusse % von linearen stetigen Operatoren zwischen Banachrau.men hciPt ein Ideal, wenn fur die Komponenten %(E, F ) = ( T : E + -+F I T e a } die folgenden Bedingungen erfullt sind: 1. %(E

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A Factorization Theorem for Compact Operators

Abstract: It is shown that every compact operator T:E-F between Banach spaces admits a compact factorization (T=QP where P:E-+c and Q:c-Fare compact) through a closed subspace c of the Banach space c0 of zero-convergent sequences.

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Abstract: It is shown that every compact operator T:E-*F between Banach spaces admits a compact factorization (T=QP where P:E-+c and Q:c-*Fare compact) through a closed subspace c of the Banach space c0 of zero-convergent sequences.

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