A Euclidean Geometric Invariant of Framed (Un)Knots in Manifolds

Abstract

Abstract. We present an invariant of a three-dimensional manifold with a framed knot in it based on the Reidemeister torsion of an acyclic complex of Euclidean geometric origin. To show its nontriviality, we calculate the invariant for some framed (un)knots in lens spaces. Our invariant is related to a finite-dimensional fermionic topological quantum field theory.

Геометрические Кручения И Инварианты Многообразий С Триангулированным Краем

“…Мощность каждого из множеств C и D будем называть уров-нем соответствующего инварианта. Например, пустым множествам соответству-ет инвариант нулевого уровня, именно такие инварианты изучались в работе [10]. В этой работе изложено доказательство аналогичного утверждения для частного случая инвариантов нулевого уровня и тора со специальной триангуляцией в каче-стве края многообразия.…”

“…не затрагивающими границу, движениями Пахнера 2 ↔ 3 и 1 ↔ 4, а затем исследуем, что происходит с матрицами, входящими в комплекс, при этих движениях. Несмотря на то что сейчас мы находимся в более общей си-туации, рассуждения из работы [10] справедливы и в нашем случае, так что мы отсылаем читателя к указанной работе за подробностями. Замечание 4.…”

“…Линзовые пространства без трубчатой окрестности неузла. Напом-ним, что "неузлы" в линзовых пространствах L(p, q), изучавшиеся в работе [10] -это наименее заузленные петли, идущие вдоль нетривиальных элементов группы π 1 (L(p, q)). В указанной работе вычислены инварианты многообразий с краем, по-лучающихся удалением трубчатой окрестности такого неузла из L(p, q).…”

“…В указанной работе вычислены инварианты многообразий с краем, по-лучающихся удалением трубчатой окрестности такого неузла из L(p, q). В терминах настоящей статьи это не что иное, как инварианты нулевого уровня, соответствую-щие различным триангуляциям края, которые сопоставлены в работе [10] различ-ным оснащениям неузла.…”

“…Исследование такого инва-рианта для линзового пространства без трубчатой окрестности неузла (т.е. наиме-нее заузленной петли, идущей вдоль данного элемента фундаментальной группы), предпринятое в статье [10], сразу привело к нетривиальным результатам и наве-ло на мысль сконструировать таким способом топологическую теорию поля в духе аксиом Атьи или даже непосредственно удовлетворяющую этим аксиомам. Самое замечательное, что геометрические кручения, видимо, существуют для многообра-зий любых размерностей (см.…”