A Coupled System of Differential-Algebraic Equation and Hyperbolic Partial Differential Equation

Abstract

Diese Dissertation befasst sich mit der Analyse eines gekoppelten Systems der Form (Eu) ′ (t) + φ 1 (t, u(t), v(t)) = q 1 (t), v ′′ (t) − ∆v(t) + φ 2 (t, u(t), v(t)) = q 2 (t).(1.1)Es besteht aus einer semilinearen abstrakten differential-algebraischen Gleichung (DAE) und einer semilinearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Beide Gleichungen sind durch die nichtlinearen Kopplungsoperatoren φ 1 und φ 2 miteinander gekoppelt.Gekoppelte Systeme dieser Art können als spezielle abstrakte DAEs und als Verallgemeinerungen von partiell differential-algebraischen Gleichungen aufgefasst werden. Sie spielen in vielen Anwendungen wie der Modellierung von multiphysikalischen Systemen, bei der Simulation von Schaltkreisen, oder der Optimalsteuerung von Gasnetzwerken eine Rolle.In der vorliegenden Arbeit diskutieren wir zunächst nur die abstrakte DAE und führen sogenannte Matrix-induzierte lineare Operatoren ein. Wir übertragen unter Nutzung dieser Operatoren einen Entkopplungsansatz für DAEs auf den unendlichdimensionalen Fall der vorliegenden abstrakten DAE. In Kombination mit einer neuartigen Index-1-Charakterisierung für semilineare abstrakte DAEs gelingt es uns, die inhärente gewöhnliche Differentialgleichung und die algebraischen Nebenbedingungen aus der abstrakten DAE zu extrahieren und Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu zeigen. Anschließend verbinden wir die entwickelten Ansätze zur Behandlung von derartigen abstrakten DAEs mit bereits bekannten Ansätzen für die Analyse von hyperbolischen Gleichungen zweiter Ordnung, und schaffen einen einheitlichen Rahmen, in dem wir das gekoppelte System (1.1) diskutieren können. Mithilfe eines Fixpunktansatzes zeigen wir Existenz und Eindeutigkeit von lokalen und globalen Lösungen zu diesem gekoppelten System. Zu guter Letzt formulieren wir ein Optimalsteuerungsproblem, in dem das System (1.1) als Nebenbedingung auftritt. Wir zeigen die Existenz einer optimalen globalen Steuerung und einer globalen Minimalstelle. vii I wish to say thanks to Prof. Dr. Barbara Zwicknagl, my mentor within the Berlin Mathematical School. Her professional advice and her kindness helped more than once to push through difficult moments. I also wish to thank Prof. Dr. Axel Kröner for his support and motivating words. Gratitude is equally owed to Prof. Dr. Etienne Emmrich who acted as reviewer for this thesis. I would also like to thank some of the most important staff members for technology, service, and administration at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences as well as the Department of Mathematics of the Humboldt-Universität zu Berlin. I would like to thank