A counterexample to Borsuk’s conjecture

Abstract

Abstract.Let f(d) be the smallest number so that every set in Rd of diameter 1 can be partitioned into f(d) sets of diameter smaller than 1. Borsuk's conjecture was that f(d)=d+\. We prove that f(d)>(\.2)^ for large d.

Ослабленный Закон Нуля Или Единицы Для Последовательностей Случайных Дистанционных Графов

“…Кан и Г. Ка-лаи применили результаты Франкла и Уилсона для опровержения классиче-ской гипотезы Борсука о том, что всякое ограниченное неодноточечное множес-тво в R n может быть разбито на n+1 частей меньшего диаметра (см. [13] и [16]). Таким образом, изучение внутренней структуры дистанционного графа и его подграфов играет исключительно важную роль.…”

“…Как и в случае 2.1.2, 1), мы счита-ем, что эти элементы находятся среди x 1 , x 2 , x 7 , x 8 , x 9 , x 10 , x 15 , x 16 , причем любые два из них не являются соседними. Тогда среди чисел r 3) Пусть количество элементов в множестве {x 1 , x 2 , x 7 , x 8 , x 9 , x 10 , x 15 , x 16 }, являющихся четными и не делящимися на 4 числами, равно четырем, причем любые два таких элемента не являются соседними.…”

Geometric representations of graphs

“…(Interestingly the question in small dimensions was settled by simply using upper bound on the number of edges in the graph of the largest distances, discussed above). But the general case was settled in the negative by Kahn and Kalai [109], who proved that the minimum number of covering sets (equivalently, the chromatic number of the graph of largest distances) can be as large as 2…”

Large simplices determined by finite point sets

“…Among the problems that have drawn a lot of attention for decades are: Erdős's problem on unit distances [4,18], Erdős's problem on distinct distances [4,10], Borsuk's conjecture on the chromatic number of diameter graphs [2,13], the Hadwiger-Nelson coloring problem [11]. Consult [3] for many other problems of this kind.…”