A Construction of Rotated Lattices via Totally Real Subfields of the Cyclotomic Field Q(z_p)

Abstract

The theory of lattices have shown to be useful in information theory and rotated lattices with high modulations diversity have been extensively studied as an alternative approach for transmission over a Rayleigh-fading channel, where the performance of this modulation schemes essentially depends of the modulation diversity and of the minimum product distance to achieve substantial coding gains. The maximum diversity of a rotated lattice is guaranteed when we use totally real number fields and the minimum product distance is optimized by considering fields with minimum discriminant. In this paper, we present a construction of rotated lattice for the Rayleigh fading channel in Euclidean spaces with full diversity, where this construction is through a totally real subfield K of the cyclotomic field Q(z_p), where p is an odd prime, obtained by endowing their ring of integers.

Reticulados e codigos

“…Apresentamos a construção de tais reticulados no caso em que n é uma potência de 2 e no caso em que n = 2 e r = 3, através do subcorpo maximal real do n-ésimo corpo ciclotômico, respectivamente. Estas construções são temas dos artigos em conjunto [1] e [2], respectivamente. Na parte final deste capítulo abordamos os isomorfismos existentes entre o reticulado ideal sobre Z[ζ p r + ζ −1 p r ] e os reticulados já conhecidos, incluindo uma análise comparativa da distância produto mínima.…”

“…O principal invariante dos corpos de números algébricos é caracterizado nos corpos ciclotômicos pelo seguinte teorema: 1) .…”

“…Deste modo, apresentamos 6 métodos para construir reticulados ideais Z n , e faremos a construção detalhada dos métodos 3 e 4, os quais encontram-se nos artigos em conjunto [1] e [2], respectivamente. Os outros métodos podem ser encontrados em [34].…”

“…Nesta seção faremos a construção de reticulados ideais Z n -rotacionados via o anel de inteiros do subcorpo maximal real do corpo ciclotômico Q(ζ 2 r ). Os resultados obtidos aqui foram publicados em artigo conjunto [1].…”

Abordagem algebrica e geometrica de reticulados

“…Apresentamos uma nova construção de tais reticulados no caso em que n é uma potência de 2, através do subcorpo maximal real do n-ésimo corpo ciclotômico. Esta construção é o tema do artigo conjunto "Rotated Lattice via the Cyclotomic Field Q(ζ 2 r )"( [22]) cujos resultados são Introdução xvii apresentados de forma mais detalhada na Subseção 2.2.2.…”