A classification of the projective lines over small rings

Abstract

A compact classification of the projective lines defined over (commutative) rings (with unity) of all orders up to thirty-one is given. There are altogether sixty-five different types of them. For each type we introduce the total number of points on the line, the number of points represented by coordinates with at least one entry being a unit, the cardinality of the neighbourhood of a generic point of the line as well as those of the intersections between the neighbourhoods of two and three mutually distant points, the number of 'Jacobson' points per a neighbourhood, the maximum number of pairwise distant points and, finally, a list of representative/base rings. The classification is presented in form of a table in order to see readily not only the fine traits of the hierarchy, but also the changes in the structure of the lines as one goes from one type to the other. We hope this study will serve as an impetus to a search for possible applications of these remarkable geometries in physics, chemistry, biology and other natural sciences as well.

Projective ring line encompassing two-qubits

“…(1, 0), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,10), (1,14), (1,15), (0, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7,1), (8,1), (10,1), (14,1), (15,1), (3,4), (3,10), (3,14), (5,4), (5,10), (5,14), (6,4), (6,10), (6,14).…”

“…As demonstrated, for example, in Ref. 6 (Table 3), the projective line P 1 (GF (2)[x]/ x 2 ) features six points any of which is neighbor to one and distant to the remaining four points, comprising thus three pairs of neighbors. In the set of Pauli operators this configuration is present as the sextuple of operators commuting with a given operator; taking the latter to be, e. g., C 13 , the six operators in question, as readily discerned from Table 2, are {C 4 , C 5 ; C 7 , C 10 ; C 14 , C 15 }, which indeed form three pairs of commuting members (these pairs being separated from each other by a semicolon).…”

Проективные Кривые Над Кольцом, Включающие В Себя Два-Кубиты

“…Проверяя сначала условие совместности (1), а затем, группируя допустимые пары, лево-пропорциональные единице, в классы эквивалентности (каждый содержит шесть элементов), найдем, что прямая 1) P 1 M 2 GF (2) содержит в общей сложности 35 точек со следующими представителями в каждом классе эквивалентности (см. работы [6]- [8] относительно деталей данной методологии, а также разнообразных примеров, иллюстрирующих метод проективной прямой над кольцом):…”

“…(1, 1), (1,2), (1,9), (1,11), (1,12), (1,13), (1,0), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,10), (1,14), (1,15), (0, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7,1), (8,1), (10,1), (14,1), (15,1), (3,4), (3,10), (3,14), (5,4), (5,10), (5,14), (6,…”

“…Исследовав достаточно большое число прямых, заданных над коммутативными кольцами [6], [7], мы постепенно пришли к пониманию того, что перспективный кандидат должен, по всей видимости, относиться к некоммута-тивным объектам, и это, в самом деле, оказалось так. Таким объектом, как будет достаточно подробно продемонстрировано, является проективная прямая, заданная над полным кольцом (2 × 2)-матриц с элементами, лежащими в поле GF (2), -един-ственным простым некоммутативным кольцом порядка 16, имеющим шесть единиц (обратимых элементов) и десять делителей нуля [11]. Предпочитая концептуальную часть формальной, мы попытаемся свести к минимуму техническую часть изложе-ния, отсылая интересующегося читателя к соответствующей литературе.…”