A breathing chaos

Abstract

The dynamics of a billiard in a gravitational field between a vertical wall and an inclined plane depends strongly on the angle 0 between wall and plane. Most conspicuously, the relative amount of chaotic versus regular parts of the energy surface shows pronounced oscillations as a function of 0, with distinct minima for 0 near 90"/n (n = 2, 3, . . .). This brearhing is also seen in the Lyapunov exponents. It reflects a repetetive pattern in the linear stability properties of families of periodic orbits. To study these orbits and their stability, Birkhoffs decomposition of the Poincari map into the product of two involutions is employed. The breathing in the amount of chaos can then be discussed in terms of the topology of symmetry lines, and of the corresponding directions of reflection.

Reversing k-symmetries in dynamical systems

“…For elementary applications we refer the reader to [9,17,[20][21][22][23]. The validity of this method for noninvolutory reversing symmetries was given in [7].…”

“…been highly useful in several applications [9,17,[20][21][22][23]. In [7] it was shown that the method works equally well in case a reversing symmetry is not an involution.…”

Заряженная Композитная Частица В Постоянном Электрическом Поле

“…Для описания хаотических свойств траектории эффективной частицы удобно ис-пользовать результаты, полученные при исследовании движения массивной частицы в угловом биллиарде в постоянном гравитационном поле [13]- [15]. В этих работах од-на из сторон углового биллиарда ориентирована вдоль постоянного гравитационного поля.…”

“…В этих работах од-на из сторон углового биллиарда ориентирована вдоль постоянного гравитационного поля. Так, в работе [13] доказано, что в зависимости от величины угла реализуется хаотическое поведение с положительным показателем Ляпунова. При этом значение показателя Ляпунова и доля площади хаотических режимов на плоскости сечения Пуанкаре осциллируют с изменением величины угла.…”

“…При θ = π/4 динамика точно интегри-руема. И, наконец, при π/4 < θ < π/2 возникает сильный хаос [13]- [15]. Разумеется, все эти свойства сохраняются и для постоянного электрического поля, ориентиро-ванного специальным образом (вдоль одной из сторон угла).…”