Novas versões para a Inversa Aproximada em Blocos: Uma Comparação Numérica

Abstract

Recebido em 8 de dezembro de 2020 / Aceito em 15 de fevereiro de 2022 RESUMO. Propomos duas variac ¸ões do precondicionador de aproximac ¸ão da inversa em blocos (BAINV), originalmente desenvolvido por Benzi, Kouhia e Tůma em 2001. A primeira variac ¸ão, a aproximac ¸ão da inversa em blocos estabilizada para matrizes não simétricas (SBAINV-NS), é válida para matrizes não simétricas e não singulares. A segunda variac ¸ão, a aproximac ¸ão da inversa em blocos estabilizada combinada (SBAINV-VAR), é baseada nas relac ¸ões dos fatores da inversa aproximada em blocos com a fatorac ¸ão LDU em blocos de A e na relac ¸ão de aproximac ¸ão da inversa de Neumann. Demonstramos a consistência matemática dessas novas versões e apresentamos os algoritmos referentes a cada uma delas, além de exibir experimentos numéricos onde comparamos a densidade dos precondicionadores e o número de iterac ¸ões quando aplicados ao método estabilizado de gradientes bi-conjugados (Bi-CGSTAB). Os principais resultados numéricos obtidos indicam que o uso da estrutura de blocos pode aumentar o desempenho do método iterativo de Krylov em comparac ¸ão com a versão escalar. Além disso, nos experimentos apresentados, o SBAINV-VAR produz, em geral, precondicionadores que realizam menos iterac ¸ões do Bi-CGSTAB e são menos densos do que o SBAINV-NS.Palavras-chave: inversa aproximada, matrizes em bloco, precondicionadores, métodos de Krylov. INTRODUC ¸ÃOSistemas lineares da forma Ax = b, em que A ∈ R n×n é não singular e esparsa, b ∈ R n é o vetor dos termos independentes, e x ∈ R n é o vetor soluc ¸ão são de grande relevância em problemas da ciência e indústria. Quando n é muito grande (n ≥ 10 9 ) e a matriz é densa, o uso de métodos