The Hylleraas Method for Two Electrons Atoms

Abstract

THE HYLLERAAS METHOD FOR TWO ELECTRONS ATOMS. The quantum mechanics of two electrons atoms, as suggested by E. A. Hylleraas in the period between [1928][1929][1930], is discussed in the present work. Hylleraas introduced explicit correlations in the wavefunction by treating the coordinates between the electrons as an independent variable of the problem, an approach that gives very precise energy values. Solution of the problem is given for one, two, three and six basis functions, as in the original work. The solution is also carried out with 140 basis functions, showing that the energy for two electron atoms can be calculated with seven significant figures. Numerical methods presented here are accessible to undergraduated level students.Keywords: Hylleraas method; two-electrons atom; electronic correlation. INTRODUÇÃOEgil A. Hylleraas publicou, entre 1928 e 1930, uma serie de três artigos 1-3 em que trata da mecânica quântica de átomos de dois elé-trons. Resultados extremamente precisos, com um desenvolvimento relativamente simples, podem ser obtidos por essa abordagem. A correlação entre os elétrons é introduzida de forma explícita na função de onda, considerando não somente as coordenadas elétron-núcleo, mas também a coordenada relativa entre os elétrons. Ao escalonar a função de onda, Hylleraas simplifica consideravelmente o cálculo variacional, pois o parâmetro variacional aparece na forma quadrática e linear, ao contrario da forma exponencial. A versão em inglês do trabalho de E.A. Hylleraas pode ser encontrada nas referências. 4,5 A história da mecânica quântica de átomos de dois elétrons é contada pelo próprio Hylleraas no excelente artigo autobiográfico, Reminiscences form the Early Quantum Mechanics of Two-Electron Atoms.6 O cálculo da energia de átomos de dois elétrons foi um teste crucial para dar credibilidade à mecânica quântica, pois resultados corretos já haviam sido obtidos para o átomo de hidrogênio por E. Schrödinger no seu trabalho original da mecânica ondulatória 7,8 e por W. Pauli usando a mecânica matricial.9,10 Era natural que se perguntasse como seriam os resultados para átomos de dois elétrons e essa era a pergunta que E.A. Hylleraas tentava responder.O presente texto é baseado nos trabalhos originais de Hylleraas, com a intenção de tornar esses trabalhos mais acessíveis para estudantes de graduação. Após uma introdução teórica do hamiltoniano nas coordenadas de Hylleraas, o cálculo da energia do átomo de hélio é realizado com uma, duas, três e seis funções de base, como tratado originalmente. O cálculo das integrais nessas coordenadas é feito, com exemplos em uma dimensão, para ilustrar integrais mais elaboradas, resumidas nas equações de Chandrasekhar-Herzberg. 11As energias calculadas serão comparadas com os resultados estabelecidos em 1966 por Frankowski e Pekeris 12 que obteve o resultado, E = -2,903724377 au, com todos algarismos significativos.Para efeito de comparação com o trabalho original, toma-se a energia de referência em E = -2,9037 au, pois os cálculos em 1929 foram feitos...

Coulomb correlation and information entropies in confined helium-like atoms

“…The inclusion of this factor introduces considerable complications in problem solution. To solve it, we employ the Hylleraas coordinates [63][64][65][66], which are written as…”