Vínculos dependentes de velocidades e condição de integrabilidade de Frobenius

Abstract

Sistemas mecânicos sujeitos a vínculos dependentes de velocidades ocorrem com frequência. O teorema de Frobenius permite decidir de forma inequívoca se vínculos que dependem linearmente das velocidades são ou não integráveis. Mostramos como se formula a condição de integrabilidade de Frobenius por meio da teoria das formas diferenciais exteriores e ilustramos sua aplicação a problemas interessantes de mecânica clássica. Por fim, discutimos a importância prática de identificar a natureza dos vínculos no que concerneà integrabilidade. Palavras-chave: vínculos dependentes de velocidades, vínculos holônomos, condição de integrabilidade de Frobenius.Mechanical systems subjected to velocity-dependent constraints occur frequently. The Frobenius theorem allows us to unequivocally decide whether constraints that depend linearly on the velocities are integrable or not. We show how to formulate the Frobenius integrability condition by means of the theory of exterior differential forms, and illustrate its application to interesting problems in classical mechanics. Finally, we discuss the practical importance of identifying the nature of the constraints as concerns integrability. Keywords: velocity-dependent constraints, holonomic constraints, Frobenius integrability condition. IntroduçãoOs vínculos dependentes das velocidades mais comuns são aqueles em que as velocidades ocorrem linearmente. Casos típicos são vínculos que exprimem as condições de rolamento sem deslizamento de corpos rígidos. Se q 1 , . . . , q n são coordenadas inicialmente escolhidas para especificar a configuração de um sistema mecânico, os vínculos em que estamos interessados são da formaOs coeficientes a kl , a kt são funções de q 1 , · · · , q n , t. Vínculos desta categoria são equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que restringem os movimentos possíveis. Multiplicando formalmente a Eq. (1) por dt, somos levados a definir as 1-formas diferenciaisem termos das quais os vínculos (1) podem ser expressos do seguinte modo equivalente:Nesta linguagem, o movimento está restritoàs trajetórias ao longo das quais as 1-formas diferenciais ω 1 , · · · , ω r são nulas. Sistemas de equações constituídos por 1-formas, tais como na Eq. (3), são chamados de sistemas de Pfaff.Considere, por exemplo, um cilindro de raio R descendo um plano inclinado. O movimento do cilindro pode ser descrito pela coordenada x que dá a posição do centro de massa e a coordenada angular ϕ que descreve a rotação do cilindro em torno do centro de massa. Em geral, x e ϕ são coordenadas independentes. Mas se o cilindro rola sem deslizar, vale o vínculoẋ − Rφ = 0. Este vínculoé integrável e equivale a x − Rϕ = C, onde Cé uma constante.2 Trata-se de um vínculo holônomo: o espaço de configuraçãoé unidimensional e consiste na reta x = Rϕ + C no plano das variáveis (x, ϕ) inicialmente escolhidas para descrever o movimento. O sistema tem apenas um grau de liberdade, que pode ser 1 E-mail: nivaldo@if.uff.br.2 Se quisermos, podemos tornar C = 0 por uma escolha da origem do eixo que define ...