Equivalência entre a mecânica quântica e a mecânica quântica PT simétrica

Abstract

Este artigo traz uma discussão a respeito da mecânica quântica PT simétrica, desenvolvendo alguns elementos básicos dessa teoria. Em um caso simples de sistema de dois níveis, desenvolvemos o problema da braquistócrona quântica. Comparando os resultados obtidos entre a mecânica quântica PT simétrica e aqueles obtidos usando o formalismo padrão, conclui-se que a nova abordagem nãoé capaz de revelar nenhum fenômeno novo. Palavras-chave: simetria PT, braquistócrona quântica, mecânica quântica não hermitiana.In this paper we develop a discussion about PT symmetric quantum mechanics, working with the basic elements of this theory. In a simple case of a two-body system, we developed the quantum brachistochrone problem. Comparing the results obtained through the PT symmetric quantum mechanics with the ones obtained using the standard formalism, we conclude that this new approach is not able to reveal any new effect. Keywords: PT symmetry, quantum brachistochrone, non-hermitian quantum mechanics. IntroduçãóE comum em mecânica quântica definirmos a hamiltoniana que descreve a evolução temporal dos estados de maneira hermitiana (H = H † ). Esta imposição garante que os autovalores correspondentes a H e, portanto, os níveis de energia dos sistema, sejam reais. Tal imposição garante a evolução unitária do sistema que, por sua vez, implica que as probabilidades derivadas dessa hamiltoniana sejam preservadas.No entanto, apesar da condição de hermiticidade ser uma condição suficiente para se obter autovalores reais, ela nãoé necessária.É possível construir uma teoria quântica com hamiltonianas que, apesar de não serem hermitianas, possuam autovalores reais, provendo uma evolução unitária para o sistema.O estudo desse tipo de hamiltonianas começou em 1998 com Bender e Boetcher [1], que propuseram a substituição da condição de hermiticidade por uma condição análoga, chamada de simetria PT, P T H(P T ) −1 = H, (neste contexto P se refere ao operador paridade enquanto T se refere ao operador reflexão temporal) que garantia que os níveis de energia do sistema se mantivessem reais. Após a publicação deste artigo seminal, outros relacionados a este tema foram desenvolvidos, estudando uma série de diferentes hamiltonianas com o intuito de encontrar peculiaridades na mecânica quântica PT simétrica, que possivelmente explicariam fenômenos físicos ainda não entendidos [1][2][3][4][5][6][7]. Na Ref.[8], Mostafazadeh generalizou o conceito de simetria PT, encontrando relações gerais nas quais matrizes não hermitianas possuíssem autovalores reais, definindo isso como pseudo hermiticidade.No presente artigo, vamos desenvolver elementos da mecânica quântica PT simétrica, obtendo operadores básicos para essa teoria. Além disso, vamos analisar a Braquistócrona Quântica sob o ponto de vista da mecânica quântica usual e da PT simétrica [9][10][11]. Através dessa análise, podemos ser induzidos a acreditar em comportamentos anômalos, que geram transições infinitamente rápidas entre estados quânticos [11], vamos entender esse fenômeno e identificar ...