O exemplo mais simples do uso do método das imagens

Abstract

Mostra-se que o sistema constituído por dois planos infinitos e paralelos, sendo um plano condutor e o outro um plano isolante com carga distribuída uniformemente,é o exemplo mais simples do uso do método das imagens, em constraste com o queé difundido na literatura. Palavras-chave: método das imagens, equação de Poisson, carga induzida.It is shown that the system consisting of two infinite and parallel planes, one of them a conductor, and the other an insulator with a uniform distribution of charges, is the simplest example of the use of the method of images, in contrast to what is usually written in the literature. Keywords: method of images, Poisson equation, induced charge. IntroduçãoEm eletrostática, o potencial elétrico gerado por uma prescrita distribuição de cargas na presença de condutores nãoé um problema que possa ser resolvido por meio da integralIsto se dá porque dq ′ nãoé somente devidaà dada distribuição de cargas, mas tambémà distribuição de cargas induzida nas superfícies dos condutores, sendo esta desconhecida a priori. Contudo, o problema pode ser resolvido por meio da equação de Poissonacrescida de condições de contorno. O potencialé uma função contínua, exceto nos pontos em que ρ exibe singularidades expressas em termos de funções delta de Dirac comoé o caso, por exemplo, de uma carga pontual q localizada em − → r 0 ρ(r) = qδ(r − − → r 0 ).As condições de contorno apropriadas são os potenciais ou as cargas especificados em cada condutor. Assim sendo, o potencialé unicamente determinado em todos os pontos do espaço. Então, qualquer solução da equação de Poisson que satisfaça as condições de contornoé solução do problema, não importando o método utilizado, sendo cabível até mesmo o recursoà intuição eà analogia.O método das imagensé uma técnica poderosa na resolução de problemas eletrostáticos envolvendo uma dada distribuição de cargas na presença de condutores. O método apoia-se na unicidade da solução e consiste na simulação das condições de contorno pela adição de cargas imagens localizadas fora da região de interesse. Contudo, sua efetividade depende da simetria do sistema, depende da geometria da prescrita distribuição de cargas e das superfícies dos condutores, e assim, como ilustrado nos livros-texto, o métodoé restrito a um punhado de sistemas. Landau e Lifshitz [1] chegam a mencionar que o mais simples uso do método das imagensé a determinação do campo elétrico devido a uma carga pontual nas proximidades de um meio condutor que ocupa o semiespaço. Feynman, Leighton e Sands [2] não deixam por menos, e referem-se ao problema da carga pontual na vizinhança de um plano (folha) condutor infinito aterrado como sendo a mais simples aplicação do metódo das imagens.É instrutivo observar que os sistemas mais simples mencionados nas Refs. [1]