Três mitos sobre a "função" delta de Dirac

Abstract

São desfeitas três concepções matemáticas errôneas, porém recorrentes entre os físicos, relacionadasà "função" delta de Dirac. Palavras-chave: função delta de Dirac, teoria das distribuições.Three mathematical misconceptions concerning Dirac's delta "function", recurring among physicists, are dispelled. Keywords: Dirac delta function, theory of distributions.Quase todos os livros-texto de eletromagnetismo voltados para cursos de graduação introduzem a "função" delta de Dirac para descrever a densidade de carga elétrica de uma carga pontual. A "função" δ(x) e definida como igual a zero em toda parte exceto em x = 0, onde elaé infinita de tal modo que sua integral em qualquer intervalo aberto que contenha a origemé igual a um. Reitz e cols. [1] comentam que "the Riemann integral of such a function is zero if it exists at all, but the integration can be handled by the more general Lebesgue integral". Marion e Heald [2] asseguram que "it is possible to define the delta-function as the limit of an ordinary function." Outra afirmação frequentemente encontrada em livros-texto de eletromagnetismo [3]é que δ nãoé uma função porque o seu valor nãoé finito em x = 0.O propósito desta notaé assinalar que todas as afirmações acima são infundadas.É impossível interpretar δ(x) como uma função por causa de suas propriedades contraditórias, não por causa de seu valor infinito em x = 0. Além disso, nenhuma definição razoável de integral, por mais geral que seja, pode contornar tal impossibilidade. Por fim, nãoé possível definir a "função" delta como o limite pontual de uma sequência de funções ordinárias.Antes de mais nada, uma função honesta pode ser infinita em certos pontos isolados ou mesmo num conjunto de medida nula. Por exemplo, a função real |x| −1/2é infinita em x = 0 masé uma função perfeitamente legítima. Em particular, elaé integrável em qualquer intervalo finito, mesmo incluindo a origem. Segue-se que, como usualmente definida, a saber, δ(x) = 0 para x = 0 e δ(0) = ∞, δé uma função genuína com valores em R * . Na teoria da integral de Lebesgue aprende-se que o conjunto cujoúnico elementoé o ponto na origem tem medida nula, e que a integral de qualquer função nula em toda parte exceto num conjunto de medida nulaé igual a zero. Este resultado pode ser estendido para qualquer definição razoável de integral. Considere a função ∆(x) = 2δ(x) e seja R δ(x)dx = I. De acordo com a aritmética em [0, ∞], ∆ e δ são iguais ponto a ponto, de modo que a integral de ∆ também tem que ser igual a I. Além disso, qualquer integral razoável deve depender linearmente do integrando, de modo que R ∆(x)dx = 2 R δ(x)dx = 2I. Portanto, I = 2I e oúnico valor finito possível para Ié I = 0. Em suma, a inexistência de uma função delta deve-se a suas propriedades contraditórias, não a seu valor infinito na origem.Ressalte-se que a regra (1) nãoé estranha aos físicos, pois quando a "função" delta tridimensionalé definida por δ 3 (r) = δ(x)δ(y)δ(z) e se diz [6] que "the threedimensional delta function is zero everywhere except