Introdução ao teorema de Nash e às Branas-mundo

Abstract

Apesar dos modelos de Branas-mundo terem recebido atenção considerável nosúltimos anos por fornecerem várias opçõesà física contemporânea, seus mecanismos não são completamente entendidos ou apropriadamente justificados. Tendo em vista tal dificuldade, neste trabalho fornecemos uma contribuição pedagógica dirigida especialmente aos alunos de pós-graduação em física, fazendo uma abordagem introdutória a um dos temas importantes em física e geometria no que diz respeito aos fundamentos da teoria de imersão de variedades. Apresentamos uma descrição do teorema de imersão de Nash de 1956 que mostra como fazer uma imersão local entre variedades Riemaniannas mantendo a regularidade e diferenciabilidade das funções de imersão, e de como issoé aplicadoà física sob o ponto de vista das Branas-mundo. Palavras-chave: Branas-mundo, teoria de Imersão, teorema de Nash.Although brane-world models have gained considerable attention in the last years for providing several options for contemporary physics, their mechanisms are not completely understood or properly justified. Taking into account such difficulty, in this work we provide a pedagogical contribution, written especially for physics graduate students, and present an introductory approach to one of the important themes in physics and geometry concerning the foundations of immersion theory of manifolds. We present a description of Nash's embedding theorem of 1956 which shows how to do a local embedding between Riemannian manifolds while preserving the regularity and differentiability of the embedding functions, and how it can be applied to physics in the contex of the brane-worlds. Keywords: Brane-world, Immersion theory, Nash's theorem. IntroduçãoA geometria Riemanniana tem exercido uma forte influência na física desde o início do século XX com o advento da relatividade geral. Tantoé assim que os estudantes de física aprofundam seus conhecimentos em geometria através do estudo da geometria Riemanniana. No entanto, ela nãoé aúnica opção disponível, no sentido de que estruturas mais gerais têm sido amplamente estudadas, como a teoria de imersões de variedades. Porém, particularmente em física, o temaé muito pouco comentado tanto nos cursos básicos de graduação quanto nos cursos de pós-graduação devidò a sua especificidade. Com o objetivo de dar uma contribuição suprindo esta questão, discutimos um dos trabalhos importantes na história da geometria, e invariavelmente repercutindo nas teorias físicas, proposto há pouco mais de cinquenta anos por John Nash. Nash O presente trabalhoé dirigido principalmente aos estutandes de pós-graduação dasáreas de relatividade geral e teorias multidimensionais. Damosênfase ao resgate de pontos principais acerca da geometria imersões locais, tais como seu desenvolvimento histórico, conceitos e esclarecimento de passagens matemáticas muitas vezes obscurecidas na literatura mais especializada no que diz respeitoà imersão. No entanto, dada a complexidade do tema, limitamo-nos a uma breve descrição do teorema de Nash e sua aplicação na estruturaç...