Aplicação do método das escalas múltiplas em física

Abstract

Neste trabalho, concentramo-nos em um método específico na teoria de perturbação, o método das escalas múltiplas. Desenvolvido na mecânica clássica para o tratamento de equações diferenciais não-lineares, este métodoé aplicado como uma ferramenta matemática na descrição de efeitos perturbativos em vários sistemas físicos. Desta forma queremos mostrar a aplicação deste método, tanto no contexto clássico como quântico utilizando a equação de Duffing. Palavras-chave: métodos assintóticos, método das escalas múltiplas.In this work, we focus on a specific method of perturbation theory, the method of multiple scales. Developed in classical mechanics for the treatment of non-linear differential equations, this method is applied as a mathematical tool in the description of perturbative effects in several physical systems. Therefore, in order to exemplify this method, we apply it to the Duffing equation both in the classical and quantum contexts. Keywords: . IntroduçãoO método das escalas múltiplas (MEM)é um dos métodos assintóticos de grande eficiência. Seus desenvolvimentos principais incluem oscilações não-lineares, problemas de camadas limites, dinâmica dos fluídos, aerodinâmica e a teoria de movimento de astronave [1].Diretamente, podemos dizer que o MEM tem como idéia central a transformação das equações diferenciais do problema a ser abordado, sendo ela linear ou não, em uma série de equações diferenciais lineares solúveis de forma interativa. 2E importante ressaltar que este método não se restringe apenas aos domínios da física clássica, mas pode ser aplicado, considerando-se modificações adequadas, em problemas no campo da mecânica quântica, com o propósito de se obter soluções, tanto das equações de Heisenberg como da equação de Schrödinger [2].Em problemas relacionadosàóptica quântica, por exemplo, o MEM permite estudar de forma analítica o efeito da modulação da amplitude em um feixe monocromático, produzido pela excitação de um modelo deátomos acoplados através de dois lasers com freqüências diferentes [3] como também em problemas relacionados com a interação e quantização em cavidades quânticas com paredes oscilantes [2].Em especial, aplicamos o MEM na solução de equações diferenciais lineares diretamente no problema de evolução temporal das soluções dinâmicas do tipo oscilador harmônico, tanto no tratamento clássico como quântico (eq. Duffing) [3,4].O MEMé um poderoso método perturbativo, pois analisa quantitativamente os comportamentos físicos característicos em diferentes escalas de tempo associadas a um dado sistema dinâmico. Método das escalas mútiplasPortanto, nesta seção, vamos considerar uma breve revisão dos aspectos gerais do MEM em problemas de física clássica e quântica. Em geral, para as equações diferenciais de sistemas não lineares, utilizamse métodos assintóticos para se obter suas soluções aproximadas [5][6][7]. Um exemplo interessanteé o do movimento oscilatório unidimensional sob ação de uma força restauradora (sistema massa-mola). Para este sistema consideramos a equação para a posição u...

O método de escalas múltiplas aplicado a um modelo do oscilador harmônico linear regularmente perturbado

“…Vale destacar que além de conceitos da teoria de perturbações, será utilizado o método de escalas múltiplas, dada suas vantagens frente ao problema proposto no artigo. As principais aplicações deste método são problemas de oscilações não-lineares, problemas de camada limite, dinâmica de fluidos, aerodinâmica, entre outros [3]. Uma das motivações para uso do método das escalas múltiplas, é de que na natureza existe vários fenômenos que se comportam de maneira distinta para diferentes escalas temporais, como por exemplo oscilações não-lineares.…”