Formalismo de Hamilton-Jacobi à la Carathéodory

Abstract

Aqui traremos a descrição do formalismo de Hamilton-Jacobi para sistemas regulares como desenvolvido no livro de Carathéodory, seguida por dois exemplos que mostram sistematicamente sua aplicabilidade. Palavras-chave: equação de Hamilton-Jacobi, sistemas regulares.We will bring the description of the Hamilton-Jacobi formalism for regular systems as developed in Carathéodory's book, followed by two examples that show its applicability. Keywords: Hamilton-Jacobi equation, regular systems. IntroduçãoEm quatro artigos monumentais publicados em 1926 [1], Schrödinger inaugura a mecânica ondulatória, na qual a quantizaçãoé abordada como um problema de resolução de equações de autovalores. Em conjunto com a mecânica de Heisenberg e os trabalhos de Dirac, esses artigos edificam as bases teóricas da mecânica quântica. Quase um século antes, Hamilton mostra seu formalismo para a mecânica clássica baseado na analogiaóptico-mecânica, que relaciona aóptica geométricà a mecânica analítica. Como legítimo sucessor de Hamilton, Schrödinger utiliza-se da mesma construção analógica, que permitiu a abertura de novas fronteiras da física. Na introdução do segundo de sua série de artigos, Schrödinger escreve sobre Hamilton:Infelizmente esta concepção significativa e poderosa de Hamiltoné privada, nas reproduções mais modernas, de sua bela vestimenta, como um acessório supérfluo, em favor de uma representação mais colorida da correspondência analítica.Sobre os trabalhos de Schrödinger, o mesmo poderia ser dito nos dias de hoje sem qualquer alteração.A analogiaóptico-mecânica está ligada ao fato de ambas as disciplinas, aóptica e a mecânica, serem deduzidas por princípios variacionais (para uma literatura histórica sobre o cálculo variacional, veja a Ref. [2]). E a primeira ligação foi estabelecida quando Hamilton percebeu que seu princípioé equivalente ao de Fermat, tendo como resultado que trajetórias dos raios de luz no espaço euclidiano são ligadasàs trajetórias dinâmicas no espaço de configuração por um formalismo matemático comum.Enquanto a mecânica clássica estaria ligadaàóptica geométrica, a mecânica quântica estaria conectadaà optica ondulatória. O limite estaria na capacidade da definição de trajetórias, que sóé possível naóptica geométrica, onde consideramos que a trajetória tem dimensões muito maiores que o comprimento de onda. O conceito de trajetória não faz sentido na teoria ondulatória, na qual o comprimento de ondaé grande em relação ao "caminho da luz". Considerou-se, então, natural que nos sistemas quânticos a mecânica clássica não funcionasse, tanto quanto aóptica geométrica não poderia ser usada para problemas que envolvessem, por exemplo, a difração.Existe um formalismo, nascido da mecânica de Hamilton e da teoria das transformações canônicas de Jacobi, queé o formalismo comum entre ambas as mecânicas e aóptica.É o formalismo de HamiltonJacobi, (HJ). Este formalismo tornou-se o ponto de partida de Schrödinger para a formulação da mecânica quântica. Neste artigo, nos dedicaremos a apresentar este formalismo sobre o ...

Formalismo de Hamilton-Jacobi à la Carathéodory. Parte 2: sistemas singulares

“…Vamos impor esse cenário como ponto de partida do formalismo. Assim, vamos partir das condições [1] ∂S ∂t…”

“…Na primeira parte deste trabalho [1], mostramos como o formalismo de Hamilton-Jacobi (HJ) emerge de forma natural a partir do princípio de Hamilton com o método de Lagrangianas equivalentes de Carathéodory. O que fizemos foi tentar encontrar uma função S(q, t) tal quē L = L − dS/dt seja um extremo em uma trajetória dinâmica C no espaço de configuração.…”

“…2 Neste trabalho empregaremos a convenção de soma, em queíndices repetidos representam soma sobre os valores dessesíndices. Por exemplo, na expressão (1), p iq i deve ser compreendido por n i=1 p iq i .…”

“…impede que uma equação de HJ possa ser escrita a partir da relação (1), em razão da não existência de uma função Hamiltoniana, em (4), que sejaúnica em todo o espaço de configuração. Nosso objetivoé, portanto, encontrar uma generalização do formalismo de HJ para lidar com o problema da violação da condição Hessiana.…”