Comentários sobre integrais impróprias que representam grandezas físicas

Abstract

Uma integral imprópria de função de variável real que representa certa grandeza físicaé freqüentemente calculada considerando-a como parte de uma integral no plano complexo cujo caminho de integração, num processo de limite, tende a incluir todo o eixo real, aproximando-se dos pólos reais do integrando de modo a produzir resultados fisicamente aceitáveis. Neste trabalho, descrevemos os métodos usualmente empregados no cálculo dessas integrais, comênfase em como as condições físicas determinam o modo de proceder aos limites. Além disso, resolvemos três problemas clássicos para ilustrar as técnicas apresentadas. Palavras-chave: integral imprópria, contorno, i-épsilon, valor principal.An improper integral of a function of real variable representing a given physical quantity is often calculated by considering it as part of a complex integral whose path of integration, in a limiting process, tends to include the whole real axis, approaching the real poles of the integrand such as to produce physically acceptable results. In this work, we describe the methods usually employed in the evaluation of such integrals, with emphasis on how physical conditions determine the way the limits are to be carried out. In addition, we solve three classical problems to exemplify the techniques presented. Keywords: improper integral, prescription, i-epsilon, principal value. IntroduçãoEm meio aos cálculos de uma certa grandeza física, e comum encontrá-la representada por uma integral imprópria efetuada sobre todo o eixo real, ao longo do qual se encontram um ou mais pólos do integrando. A prática rotineira para resolver tal integral consiste em considerá-la como parte de outra, no plano complexo, cujo caminho de integração, num processo de limite, tende a incluir todo o eixo real. Matematicamente, uma integral imprópriaé bem definida quando o seu valor não depende do modo como os limites que ela envolve são efetuados (Ref. [1, sec. 10.15, p. 592]). Entretanto,é comum depararmos-nos com representações de grandezas físicas por integrais impróprias que não apresentam essa característica de unicidade. Nesses casos, o modo de realizar os limites deve ser determinado com base em algumas das propriedades da grandeza física. Istoé, o caminho de integração deve estender-se sobre todo o eixo real e aproximar-se dos pólos reais de modo a produzir alguns dos resultados já esperados (i.e., satisfazer certas condições físicas do problema).Ordinariamente, encontramos na literatura física - Nesta exposição (dirigida principalmente aos alunos) assume-se que o leitor saiba aplicar o teorema dos resíduos para obter o valor de uma integral real imprópria, inclusive o valor principal de Cauchy. Este trabalho visa principalmente a descrever o segundo método acima mencionado, cotejando-o, contudo, com o primeiro. Após a apresentação dos métodos, na sec. 2, aplicamo-los, na sec. 3, para calcular: (i) o movimento do sistema massa-mola não-amortecido, (ii) as vibrações de uma corda esticada infinita e sujeitaàs

Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain

“…In fact, the + and − signs correspond, in the notation of Ref. [6], to the D −+ -and D +− -value of I(k x ), obtained with the first and second prescriptions shown in Fig. 4.…”

“…The first integral, with the change of variable given by k x = k 0 u, becomes a known integral representation of the Neumann function of order zero 6 ∫…”

“…This is an integral of the type discussed in Ref. [6], whose evaluation as part of a contour integral in the ω-plane imposes the need of prescribing the way to circumvent the two real poles at ω = ±kc.…”

“…In this respect, Ref. [6] is closely followed. As described in this reference, in physical applications, the improper integrals that arise are often not well defined mathematically, being necessary to con-sider the physical conditions to determine the correct prescription.…”