Extensões auto-adjuntas de operadores em mecânica quântica

Abstract

O problema das extensões auto-adjuntas de operadores em mecânica quântica, um assunto normalmente não apresentado em livros-texto,é brevemente discutido neste trabalho. Palavras-chave: mecânica quântica, condições de contorno, extensão auto-adjunta.In this work we discuss briefly the problem of self-adjoint extensions in quantum mechanics, a subject usually not presented in textbooks. Keywords: quantum mechanics, boundary conditions, self-adjoint extension. IntroduçãoEm mecânica quântica lidamos com o fato de que um operadoré um observável quando eleé hermitiano, istó e, A = A ⊥ [1]. Contudo, o que não fica claroé que, tecnicamente, um operador será observável se ele for autoadjunto, ou seja, Aφ, ψ = φ, Aψ .(1)Enquanto não especificamos a física do problema, o que temos simplesmenteé o problema de um operador A atuando em um subespaço de Hilbert. Nesse ponto um fato nos passa despercebido: a condição (1) revela que, matematicamente, as condições de contorno para um sistema não devem ser impostas: elas entram na própria definição do operador em questão. Isso quer dizer que no domínio de tal operador teremos autofunções satisfazendo a diferentes condições de contorno. Assim, antes mesmo de especificar a física do problema, podemos fazer a seguinte pergunta: Qualé o domínio em que um operador simétrico será efetivamente autoadjunto? Com os exemplos das seções a seguir vamos deixar a mensagem de que um operador simétrico A atuando em um subespaço de Hilbert admite, na maioria dos casos, infinitas condições de contorno. A física do problemaé quem vai selecionar qualé a correta. O operador momento em um intervalo finitoVamos considerar o operador momento linear, P = −i d dx , agindo em um espaço de funções definidas no intervalo fechado [0, L]. Se seguíssemos os livros-texto, seu domínio seria escrito comoSendo um pouco mais atentos, percebemos que não dissemos nada sobre a física do problema. Apenas dissemos "um operador P atuando em um intervalo fechado [0, L]"e não "P em uma caixa unidimensional". Assim, conforme foi dito anteriormente, para que P seja observável, ele deve satisfazer a condição (1), istoé,. Assim, vemos que o domínio em que Pé autoadjunto (e, portanto, observável) será escrito como

On the nondegeneracy theorem for a particle in a box

“…The ordinary differential equation (ODE) for the eigenvalues (and eigenfunctions) in our problem isLu(x) + λu(x) = 0, whereL = d 2 /dx 2 is a self-adjoint (hermitian) operator with u(x) satisfying some of the following boundary conditions [9][10][11][12][13]. The Hamiltonian of the system isĤ = −L with energy E = λ; moreover 2 = 2m = 1:…”