Supersimetria, método variacional e potencial de Lennard-Jones (12,6)

Abstract

Neste artigoé feito uma revisão sobre o uso do formalismo da supersimetria em mecânica quântica aliado ao método variacional. Esta abordagem permite obter soluções numéricas dos autovalores de energia da equação de Schrödinger. Como exemplo, o potencial de 6)é estudado e determina-se autovalores para este potencial. Os resultados obtidos são comparados com os valores encontrados através de outros métodos aproximativos. Palavras-chave: mecânica quântica, supersimetria, método variacional, potencial de Lennard-Jones.In this work a review of the supersymmetric quantum mechanics formalism combined with the variational method is done. This approach is useful in order to obtain numerical values for the energy eigenvalues from Schrödinger equation. As an example, the energy eigenvalues from the Lennard-Jones (12,6) potential are determined and the results are compared with other ones obtained from different methods. Keywords: quantum mechanics, supersymmetry, variational method, Lennard-Jones potential. IntroduçãoO formalismo supersimétrico vem sendo amplamente utilizado no contexto da mecânica quântica [1-4], em particular, ele pode ser usado para solucionar a equação de Schrödinger. Neste sentido, a supersimetria pode ser entendida como uma generalização do método de fatorização [3][4]. Em problemas envolvendo potenciais exatamente solúveis as autofunções e autovalores podem ser determinados analiticamente através da superálgebra. Ela também pode serútil em abordagens aproximativas, como, por exemplo, o método variacional. Pela sua simplicidade alguns autores tem sugerido a inclusão deste formalismo em livros textos e cursos de mecânica quântica [5].Por outro lado, o método variacional (6) constitui um tratamento bastanteútil no estudo de sistemas em que os autovalores de energia não podem ser exatamente determinado. A escolha adequada de uma função de onda teste constitui ingrediente fundamental para a obtenção de bons resultados variacionais. Esta escolhaé um ponto delicado da aplicação do método. A respeito deste assunto L.I. Schiff em seu livro escreve [6]: Thus it is important to make use of any available information or physical intuition in choosing the trial function.A mecânica quântica supersimétrica fornece uma abordagem matemática clara, permitindo uma análise de problemas via método variacional melhor que o tratamento usual, focado no estudo direto das funções de onda. A nova abordagem sugeridaé baseada no uso do superpotencial e permite estudar o potencial efetivo que gera a função de onda teste, além da função de onda em si. A forma do potencial efetivo, comparada ao potencial original, fornece uma informação adicional sobre a aplicabilidade da função teste [7][8][9][10].Como exemplo da abordagem sugerida são determinados autovalores para o potencial de Lennard-Jones. Este potencialé muito utilizado em vários ramos da Física, como, por exemplo, física molecular [11] e estado sólido [12]. Como a equação de Schrödinger não pode ser resolvida analiticamente para este potencial, métodos aproximativos são fre...

Solução de um potencial exponencial via superálgebra

“…Além disso, é importante salientar que a abordagem utilizada nesse trabalho é focada em potenciais com soluções analíticas/exatas. Porém, nos casos em que a equação diferencial para o sistema sujeito ao potencial não pode ser resolvido dessa maneira, há a possibilidade de aplicar métodos aproximativos, como o método variacional [9,19,20].…”