Teorema de Ehrenfest e o limite clássico da mecânica quântica

Recebido em 15 de Agosto, 2016. Aceito em 22 de Agosto, 2016.Um desenvolvimento didático para determinar a solução da equação de movimento para uma partícula carregada imersa em uma região na presença de campos elétrico e magnéticos estáticos e homogêneos genéricosé proposto. Nossa proposta tem como alicerce a vantagem de, utilizando as propriedades da transformada de Laplace, podermos mapear um sistema de equações diferenciais não-homogêneas no problema simples de encontrar as soluções de um sistema linear de equações de primeiro grau. A partir da solução mais geral possível para o sistema, estudamos alguns casos particulares e recuperamos de forma simples alguns resultados já existentes na literatura. A fim de motivar nosso estudo, partimos do Teorema de Ehrenfest e discutimos como os resultados obtidos para o caso clássico podem ser interpretados na sua versão quântica. Palavras-chave: movimento de cargas, campos elétrico e magnético, trajetória, análogo quântico.A didactic development to determinate the solution of the motion equations for a charged particle under influence of electric and magnetic static and homogeneous fields is proposed. Our proposed uses the advantages and proprieties of the Laplace's transformation, to map a system of N non-homogeneous differential equations of second order in a system composed by N linear equations. From the solution more general for dynamics of the system, we study some particular cases to recover, of a simple way, the results present in the literature. In order to give a motivation to our study, we use the Ehrenfest's theorem and we discuss as the classical results can be interpreted in its quantum version. Keywords: Charge moving, electric and magnetic fields, trajectory, quantum analogue. IntroduçãoDe forma elegante a Mecânica Newtoniana (Mecânica Clássica) permite-nos entender o comportamento de partículas que estão sujeitas a determinadas forças e condições iniciais [1,2]. Porém o tamanho de sistemas físicos impõe um limite sobre o regime de validade da Mecânica Clássica, de modo que sistemas do tamanho doátomo de Hidrogênio, por exemplo, podem apresentar comportamentos peculiaresà luz da Mecânica Clássica. No entanto, há casos onde o tratamento clássico do comportamento * Endereço de correspondência: alancs@if.uff.br.de um sistema pode nos dá informações relevantes sobre o sistema de interesse. Um exemploé o de uma partícula de carga q na presença de campos magnético B e elétrico E estáticos e homogêneos, como discutiremos aqui.E conhecido que quando uma partícula penetra em uma região do espaço onde há campos magnético e elétrico ela pode estar sujeita a uma força, a depender de como ela penetra nessa região e da configuração dos campos E e B [3][4][5]. Nossa motivação em determinar de forma genérica todas as possíveis trajetórias (para as mais gerais condições iniciais) se dá pelo fato de que não há, com facilidade em livros de física básica, uma determinação matema-

“…Nesse caso, usando as Eqs. (10), (13), (14) e explicitando A 1 , A 2 , C 1 e C 2 em termos das configurações dadas para B, E e v 0 temos:…”

Section: Então O Vetor Velocidade V(t) Da Partículaé Dado Porunclassified

Section: O Tratamento Quânticounclassified

Sobre a Dinâmica de Partículas Carregadas em Campos Elétrico e Magnético

Medeiros

Santos

2016

Section: Introductionunclassified

Limite clássico da mecânica quântica

Bolivar

2003

Self Cite

Neste trabalho, apresentamos um procedimento alternativo para o cálculo do limite clássico ( → 0) das equações de movimento da mecânica quântica. Comparamos nosso método com o teorema de Ehrenfest, a aproximação WKB e com o potencial quântico de Bohm Q → 0. Segue, também, a tradução de um artigo do Einstein sobre a problemática da conexão entre as teorias clássica e quântica.In this work we propose an alternative procedure to calculate the classical limit ( → 0) of the quantum mechanical equations of motion. We compare our method with the Ehrenfest theorem, the WKB approximation and the Bohm quantum potential Q → 0. We also translate an Einstein's paper about the relation between quantum and classical theories. I IntroduçãoEm vários livros-texto [1], a conexão entre a mecânica quântica e a clássicaé realizada ao se fazer uso do teorema de Ehrenfest [2] e/ou da approximação WKB [3][4][5]. O primeiro consiste em deduzir as equaçõesa partir da equação de Schrödinger + Q(q, t) + V (q, t) = 0,

“…Assim, de acordo com os livros-texto [1], as equações de Newton são obtidas como limite clássico da equação de Schrödinger. No entanto, Ballentine et al [6,7] (veja também [8,9]) recentemente demonstraram que as condições de validade do teorema de Ehrenfest não são nem necessárias nem suficientes para caracterizar o limite clássico da mecânica quântica.…”

Section: Introductionunclassified

Limite clássico da mecânica quântica

Bolivar¹

2003

Self Cite

Neste trabalho, apresentamos um procedimento alternativo para o cálculo do limite clássico (→ 0) das equações de movimento da mecânica quântica. Comparamos nosso método com o teorema de Ehrenfest, a aproximação WKB e com o potencial quântico de Bohm Q → 0. Segue, também, a tradução de um artigo do Einstein sobre a problemática da conexão entre as teorias clássica e quântica. In this work we propose an alternative procedure to calculate the classical limit (→ 0) of the quantum mechanical equations of motion. We compare our method with the Ehrenfest theorem, the WKB approximation and the Bohm quantum potential Q → 0. We also translate an Einstein's paper about the relation between quantum and classical theories.