Aritmetizando la geometría desde dentro: el cálculo de segmentos de David Hilbert

Abstract

resumen Sobre la base que aportan las notas manuscritas de David Hilbert para cursos sobre geometría, el artículo procura contextualizar y analizar una de las contribuciones más importantes y novedosas de su célebre monografía Fundamentos de la geometría (1899), a saber: el cálculo de segmentos lineales (Streckenrechnungen). Se argumenta que, además de ser un resultado matemático importante, Hilbert depositó en su aritmética de segmentos un destacado significado epistemológico y metodológico. En particular, se afirma que para Hilbert este resultado representaba un claro ejemplo de uno de los rasgos más fructíferos y atractivos de su nuevo método axiomático formal, o sea, la capacidad de descubrir y exhibir conexiones estructurales o internas entre diferentes teorías matemáticas.Palabras-clave • Hilbert. Método axiomático. Unidad de la matemática. Geometría euclídea. Aritmetización.

Hilbert's Synthesis on Foundation of Geometry

“…The theory of numerical fields has played an important role in drafting the Grundlagen. Very few researches have highlighted this point, but recent studies, after publication of Hilbert's geometry lectures [22], have shown that one of Grundlagen main aims was the introduction of number in geometry from inside and not from outside through an artificial Cartesian reference system [1,3,20]. The analytical method, thanks to the certainty of its results, had gradually subordinated synthetic geometry to algebra, imposing very demanding hypotheses on the idea of space, in particular continuity and derivability.…”