Um engano matemático repetido por 100 anos

Abstract

Desde a sua concepção e desenvolvimento, durante os últimos 20 a 30 anos do final do século XIX, a álgebra vetorial de Gibbs não foi bem compreendida, embora muitos a tenham considerado uma obra de arte a serviço da Física clássica. É desnecessário falar da sua utilidade. Nos últimos anos ela tem sido ampliada por uns, de diferentes modos e com diferentes propósitos, e ridicularizada por outros. Alguns físicos dizem que ela é um caso especial, embora não seja um caso particular da álgebra de Clifford que tem utilidade na Mecânica Quântica; engenheiros (como o autor) desenvolvem o Cálculo Poliádico mostrando a sua utilidade em problemas de engenharia (e, indiretamente, a sua utilidade na própria Física clássica). Nesse artigo mostro que certos argumentos não verídicos, usados para demonstrar uma "incoerência interna" da álgebra de Gibbs, vem sendo emitidos desde o início do século XX e aceitos na forma de espírito de manada, sem que seus autores saibam o que realmente se passa. Isto implica banir do Cálculo Vetorial os chamados vetores e escalares polares e axiais que, na prática, nunca foram de fato necessários. Intervém fortemente nas minhas demonstrações o conceito de sistemas de vetores recíprocos, definido por Hamilton, pouco desenvolvido por Gibbs e seus seguidores, e ligeiramente mencionado nos bons tratados de Cálculo Vetorial ao longo do século XX. Tais sistemas constituem a forma natural de se operar com bases e sistemas de referência não ortogonais. Os sistemas ortogonais são extremamente úteis em muitas situações mas nem sempre simplificam cálculos e nem sempre são oportunos.<br>Since its conception and development during the last 20 or 30 years of the 19th century, Gibbs's vector system was not well understood, although people have considered it a masterpiece to formulate classical physics. It is unnecessary to emphasize its usefulness. In recent years this system has been broadened by some and ridiculed by a few others. Some physicists argue that it is a special case, though it is not a particular case of Clifford's algebra, which is useful in Quantum Mechanics. Engineers (like myself and other authors) develop the Polyadic Calculus showing its usefulness for treating engineering problems (and, indirectly, its usefulness in classical physics itself). In this paper I show that certain erroneous arguments, used to demonstrate an "internal incoherence" in Gibb's algebra, have been issued since the beginning of the 20th century and accepted in drove spirit fashion; yet, their authors lacked full understanding of the subject. This implies banishing from Vector Calculus the so-called polar and axial vectors and scalars which, in practice, were never necessary in actual fact. The concept of reciprocal vector systems intervenes strongly in my demonstrations. They have been defined by Hamilton, little developed by Gibbs and his followers, and slightly mentioned in the good works on Vector Analysis throughout the 20th century. Such systems constitute the natural form of operating with non-orthogonal bases and ...