Sobre o limite quântico-clássico do gás perfeito

Abstract

Estuda-se a transição entre os comportamentos quântico e clássico do gás perfeito, atribuindo-a ao fenômeno quântico da abertura do pacote, quando, em densidades decrescentes, ela se sobrepõe ao efeito localizador das colisões. Palavras-chave: gás perfeito, tratamentos clássico e quântico, abertura do pacote.The transition between the quantum and clasical behavior of the perfect gas is studied and attributed to the openning of the wave packet when, for decreasing gaz densities, it becomes more important than the locallizing action by collisions. Keywords: perfect gas, classical and quantum behavior, wave-packet openning. IntroduçãoO tratamernto quântico do gás perfeito pela mecânica estatística permitiu ultrapassar a limitação clássica na contagem de estados, fornecendo com Sakur-Tetrode [1] valor absoluto de sua entropia. Nele, as moléculas do gás são consideradas como ocupando o volume do recipiente -em geral, uma caixa de potencial -, de acordo com os estados e as energias quânticas para partículas isoladas. Isto, sem dúvida nenhuma,é uma abordagem apropriada em densidades 'baixas' dos gases, mas ocorre que estes continuam perfeitos, ou quase, mesmo quando o livre caminho médio entre choques -linguajar já afastado do dicionário quântico -, se torna tão pequeno como 10 −5 cm, como se tem nas condições normais de pressão e temperatura (CNPT) [2].Pretendemos aqui quantificar as aspas colacadas acima em 'baixas', estabelecendo um limite para a transição entre a literal adequacidade do tratamento quântico e o da abordagem clássica de partículas pontuais newtonianas. Para isto, invocaremos uma propriedade física dos objetos em questão, istoé, das moléculas no interior da 'caixa'. Uma propriedade fundamental dos objetos quânticos localizadosé o da 'abertura do pacote', pelo qual progressivamente se deslocalizam [3]. Por outro lado,é intuitivo que eventuais choques com moléculas congêneres, ao contrário, constituem-se em atos de localização. Nesta linha de raciocínio, aquele limite buscado acontecerá quando o tempo de deslocalização das dimensões molecularesàquelas do recipiente se tornar menor do que o tempo entre os choques, favorecendo uma descrição deslocalizada, istoé, quântica.É o que fazemos a seguir. Cálculo do limite clássico-quânticoA densidade de probabilidade ρ(x, t) de uma partícula de massa m, de 'tamanho' inicial ∆x,é, no tempo t, sendo a constante de Planck 'racionalizada', dada por [3]:resultado que se mantem válido em três dfimensões, com x → r,coordenada esférica, e ∆x → r 0 , raio localizado [4]. Obtem-se então que o tempo de deslocalização t d , da dimensão molecular, r 0 ,à dimensão macroscópica L,é:Por outro lado, o tempo médio entre choques, t c , pode ser estimado de λ, livre caminho médio, e da velocidade térmica v t como [2]: