Vínculos não-holônomos e equações de Voronec

Abstract

Será permitido, no contexto do método dos multiplicadores de Lagrange, supor que vínculos não-holônomos já estão em vigor durante a construção da lagrangiana? Este procedimento, embora aplicado com sucesso ao problema da moeda rolante num livro recente, não tem validade geral, como demonstramos por meio de um contra-exemplo. Em muitos casos, o uso de vínculos não-holônomos no processo de construção da lagrangianá e permitido, mas as equações de movimento corretas são as equações de Voronec.Is it allowed, in the context of the Lagrange multiplier formalism, to assume that nonholonomic constraints are already in effect while setting up Lagrange's function? This procedure, although successfully applied in a recent book to the problem of the rolling penny, is not valid in general, as we show by means of a counterexample. In many cases the use of nonholonomic constraints in the process of construction of the Lagrangian is allowed, but the correct equations of motion are Voronec's equations.No formalismo dos multiplicadores de Lagrange aplicado a sistemas não-holônomos, a lagrangianaé escrita como se não houvesse vínculos.Os vínculos não-holônomos são levados em conta na formulação das equações de movimento, mas não durante a construção da lagrangiana. Construir a lagrangiana admitindo que os vínculos já estão em vigoré completamente equivalente a substituir as equações de vínculo na lagrangiana escrita como se não houvesse vínculos.É tentador admitir como verdadeiro que, juntamente com as equações de vínculo relevantes, a lagrangiana reduzida resultante sempre fornece as equações de movimento corretas do sistema. O procedimento que acabamos de descreveré usado com sucesso num livro recente [1] para resolver o problema de uma moeda rolando sem deslizar sobre um plano inclinado. Infelizmente, ao contrário do que o referido livro parece sugerir, esta abordagem nãoé válida em geral, como passamos a demonstrar com a ajuda de um contra-exemplo.Considere uma esfera homogênea rolando sem deslizar num plano horizontal. Este problemaé tratado pelo método dos multiplicadores de Lagrange em [2]. Sejam X, Y, Z eixos cartesianos fixos no espaço, com o eixo Z perpendicular ao plano. Os momentos principais de inércia em relação ao centro da esfera são todos iguais a 2mR 2 /5. Se x, y são as coordenadas do centro da esfera, a lagrangiana, que se confunde com a energia cinética,é dada porAs equações de vínculo sãȯEm termos dosângulos de Euler φ, θ, ψ a lagrangiana (1) toma a formaDe acordo com o método empregado em [1], que leva em conta o rolamento sem deslizamento na construção da lagrangiana, a energia cinéticaé escrita exclusivamente em termos dos graus de liberdade rotacionais tomando os momentos de inércia em relação ao ponto de contato da esfera com o plano. A lagrangiana passa a ser L = 1 2 7mR 2