Mecânica Quântica no Espaço de Fase: I. Formulação de Weyl-Wigner

Abstract

Nas últimas décadas constata-se um crescente número de artigos em diversas áreas da Física dedicados a desenvolver e aplicar o formalismo de Weyl-Wigner nos mais diferentes sistemas físicos. A possibilidade de aprofundarmos os nossos conhecimentos sobre o princípio da incerteza e recuperarmos a Mecânica Clássica no limite <IMG SRC="/img/fbpe/rbef/v24n4/a09img01.gif">-> 0, faz com que a descrição da Mecânica Quântica no espaço de fase ganhe cada vez mais adeptos. Nesse sentido, este trabalho tem por finalidade apresentar um conjunto básico de resultados que caracterizam o formalismo em questão, possibilitando ao leitor o acesso às idéias principais decorrentes deste fascinante tema.

Symplectic Geometry and Quantum Mechanics

“…Recognition of the fundamental relationship between the Weyl pseudo-differential calculus and the Wigner transform probably goes back to Moyal's paper [127] -many years before mathematicians spoke about "Weyl calculus"! There are of course many good introductory texts for this topic; a nice review can be found in Marchiolli's paper [118]. The subject has experienced an intense revival of interest both in pure and applied mathematics during the last two decades; the Wigner-Moyal transform is also being used as an important tool in signal analysis (time-frequency analysis); see Gröchenig [78] for a review of the state of the art.…”

von Neumann e a descrição da Mecânica Quântica no espaço de fases

“…Com isso, operadores estão associados a funções de variáveis canônicas clássicas (e vice-versa), num mapeamento com regras bem estabelecidas e todos os procedimentos matemáticos próprios da MQ têm sua contraparte nesta nova descrição. Consequentemente, ao operador que descreve o estado do sistema físico fica então associada uma função particular (conhecida como função de Wigner), aos demais operadores, suas funções correspondentes e, por último, para a equação de evolução temporal tem-se como contrapartida a chamada equação de Moyal [41].…”

“…Esses resultados preliminares podem aqui ser interpretados como um prelúdio para a futura descrição da MQ no espaço de fases [41]. O problema abordado por Weyl foi retomado por von Neumann posteriormente, a partir da equação (3) para os operadores unitários, com o intuito de provar que as soluções irredutíveis 12 desta são necessariamente as soluções da relação de comutação (1).…”

“…Por conseguinte, a partir da função de Wigner, W (q, p), e de funções associadas a variáveis dinâmicas, obtêm-se resultados para valores médios em completa conexão com o conjunto de valores possíveis de medidas para aquela variável. Com isso, observa-se que o procedimento matemático de associação operador → função desempenha um papel essencial no formalismo WWGM [41]. A correspondência entre as formulações de Schrödinger e WWGM, previamente discutidas ao longo do texto, foi refinada por Snygg [50], que estabeleceu novas substituições dos operadores posição e momento linear por suas representações diferenciais específicas correspondentes, ou seja,q…”

“…Retornando à discussão inicial, embora Weyl [40] tenha proposto uma associação função → operador, 21 ele 19 Deve ser observado que esta equação corresponde a uma escolha particular e não única do ponto de partida, tendo em vista quê ∆(q, p) admite representações diferentes [41]. 20 É importante identificar que∆(q, p) também pode ser interpretado como um operador de reflexão no espaço de fase no entorno do ponto (q, p) [51][52][53].…”