A variational formulation to image inclusions in 2D travel time cross hole tomography

Abstract

It was developed a simple and high speed method with the purpose to model inclusions of irregular forms (simply connected and convex domain) in the context of cross hole travel time 2D tomography. The extension to 3D can be easily implemented and is not covered in this paper. The following assumptions were made: a) Homogeneus host medium (therefore straight ray propagation assumed) b) Homogeneus inclusion. c) Not very high velocity contrast between host medium (V 1 ) and the inclusion (V 2 ). The algorithm calculate the host velocity V 1 considering the (straight) ray between source 1 and receiver 1, and considering that this ray not intersect the anomaly. Then the velocity V 2 of the inclusion is estimated upon determining the difference δt among measured times source i -receiver j and corresponding calculated times. If the global difference is negative signifies that V 2 will be greater than V 1 and viceversa. The small values of δt are treated as outliers and therefore eliminated. The last initial parameters needed by the algorithm are the coordinates of the center of the inclusion, which are estimated by a graphical procedure. Afterwards the program approximates the contour of the inclusion using the Nelder-Mead 'simplex' algorithm. At last the perfomance of the algorithm was applied with real data. RESÚMENSe desarrolló un método simple y veloz para modelar inclusiones de formas irregulares (dominio convexo, simple conexo) en el contexto del método de tomografía sísmica en cross hole 2D. La implementación a 3D es fácil de llevar a cabo y no es tratada en este trabajo. Las siguientes premisas se tuvieron en cuenta: a) Homogeneidad del sustrato (por consiguiente se consideró la teoría de propagación de rayo recto). b) Inclusión homogénea. c) Un bajo contraste de velocidades entre el sustrato (V 1 ) y la inclusión (V 2 ). El algoritmo calcula la velocidad del sustrato V 1 considerando el rayo (recto) entre la fuente '1' y el receptor '1' (superiores) y considerando que este rayo en particular no intersecta la anomalía. Luego la velocidad V 2 de la inclusión se calcula a partir de la diferencia dðt entre los tiempos medidos fuente 'i' receptor 'j' y los correspondientes tiempos calculados con las premisas citadas. Si la diferencia global es negativa significa que V 2 es mayor que V 1 y viceversa. Los valores muy pequeños de dðt son tratados como puntos fronterizos y no tenidos en cuenta. Los últimos parámetros iniciales necesarios por el algoritmo son las coordenadas del centro de la inclusión, las cuales se estiman a partir de un procedimiento gráfico. Posteriormente el programa aproxima el contorno de la inclusión mediante el empleo del algoritmo 'simplex' de Nelder Mead. Por último el funcionamiento del programa se puso a prueba con datos reales.

Análisis Comparativo De Dos Métodos De Inversión en Tomografía Sísmica en Cross-Hole

“…(Santamarina & Fratta, 2005). En trabajos anteriores (Imhof & Calvo, 2003;Calvo & Imhof, 2005) se intentó un enfoque nuevo utilizando un principio variacional y logrando buenos resultados. Posteriormente se establecieron los fundamentos teóricos del método de la dispersión (Calvo & Imhof, 2007a;Calvo & Imhof, 2007b).…”

“…Para la determinación de dichos puntos se desarrollaron dos métodos: a) Inversión Variacional (IV): se determina el mínimo de la funcional longitud del contorno de la anomalía (Imhof & Calvo, 2003;Calvo & Imhof, 2005), por lo que se trata de un método iterativo que requiere valores iniciales de x k . b) Dispersión Mínima (DM): Se calcula el mínimo de la función dispersión a partir de la resolución de un sistema lineal de ecuaciones por el método de mínimos cuadrados.…”