An approach using Lagrangian/surrogate relaxation for lot-sizing with transportation costs

Abstract

The aim of this work was to study a distribution and lot-sizing problem that considers costs with transportation to a company warehouse as well as, inventory, production and setup costs. The logistic costs are associated with necessary containers to pack produced items. The company negotiates a long-term contract in which a fixed cost per period is associated with the transportation of the items. On the other hand, a limited number of containers are available with a lower cost than the average cost. If an occasional demand increase occurs, other containers can be utilized; however, their costs are higher. A mathematical model was proposed in the literature and solved using the Lagrangian heuristic. Here, the use of the Lagrangian/ surrogate heuristic to solve the problem is evaluated. Moreover, an extension of the literature model is considered adding capacity constraints and allowing backlogging. Computational tests show that Lagrangian/ surrogate heuristics are competitive, especially when the capacity constraints are tight.Keywords: lot-sizing; transportation costs; Lagrangian/surrogate relaxation. ResumoNeste trabalho estuda-se um problema de dimensionamento de lotes e distribuição que envolve além de custos de estoques, produção e preparação, custos de transportes para o armazém da empresa. Os custos logísticos estão associados aos contêineres necessários para empacotar os produtos produzidos. A empresa negocia um contrato de longo prazo onde um custo fixo por período é associado ao transporte dos itens, em contrapartida um limite de contêineres é disponibilizado com custo mais baixo que o custo padrão. Caso ocorra um aumento ocasional de demanda, novos contêineres podem ser utilizados, no entanto, seu custo é mais elevado. Um modelo matemático foi proposto na literatura e resolvido utilizando uma heurística Lagrangiana. No presente trabalho a resolução do problema por uma heurística Lagrangiana/surrogate é avaliada. Além disso, é considerada uma extensão do modelo da literatura adicionando restrições de capacidade e permitindo atraso no atendimento a demanda. Testes computacionais mostraram que a heurística Lagrangiana/surrogate é competitiva especialmente quando se têm restrições de capacidade apertada.Palavras-chave: dimensionamento de lotes; custos de transporte; relaxação Lagrangiana/surrogate.

Modelos matemáticos para problemas de dimensionamento de lotes com restrições de capacidade e custos de transporte

“…Diante destes resultados, apresentamos a seguir alguns resultados computacionais adicionais em que aumentamos o limite de tempo para 1500 segundos, que ainda pode ser considerado viável na prática quando se trata de decisões de nível tático. Além disso, como uma alternativa ao pacote comercial, adaptamos a heurística Lagrangiana, proposta em Molina et al (2009) para o problema mais simples apresentado em Norden e Velde (2005), para resolver o problema do Modelo 1. Uma descrição resumida desta heurística é feita na próxima seção, e são apresentados alguns resultados computacionais comparando o desempenho da heurística com aqueles obtidos com o pacote de otimização.…”

“…Baseando-se em Molina et al (2009) Em seguida, para uma melhor análise do comportamento e das limitações dos Modelos 1, 2 e 3, foram geradas outras 16 classes do problema com exemplares de tamanhos grandes (classes G1, G2, ..., G16), com números de itens iguais a 50 e 150, e números de períodos iguais a 20 e 50. Novamente, para cada uma destas dezesseis classes, foram gerados 50 exemplares que diferem entre si apenas pelos dados que são gerados aleatoriamente nos intervalos predeterminados.…”

“…Para as classes do Modelo 1, são considerados os seguintes dados baseados em Norden e Velde (2005) e Molina et al (2009). A Tabela 1 apresenta dois tipos de dados fixos, valores constantes e intervalos.…”

“…Recentemente, em Molina et al (2009) Molina et al (2009), representando casos mais gerais que ocorrem na prática, são analisadas, bem como é aplicado um método de solução baseado em relaxação Lagrangiana para uma das extensões propostas. Na próxima seção, os modelos estendidos são apresentados e, na Seção 3, é feita uma análise computacional destes modelos utilizando a linguagem de modelagem AMPL e o software de otimização CPLEX.…”

“…As restrições (13) limitam o número de caminhões mais baratos e (14) definem o domínio das variáveis. Y , i ,...,n; t ,...,T (9) As diferenças entre o Modelo 1 e o modelo tratado em Molina et al (2009) estão na definição do parâmetro P i e das variáveis A it e B it e, portanto, na Função Objetivo 1 e Restrições 1, 5, 6 e 9. A função objetivo (1) minimiza a soma dos custos de estoque, de atraso, de preparação e de transporte.…”