Um algoritmo de planos-de-corte para o número cromático fracionário de um grafo

Abstract

ResumoO número cromático fracionário ( ) F G χ de um grafo G é um conhecido limite inferior para seu número cromático ( ) G χ . Experimentos relatados na literatura mostram que usar ( ) F G χ , em lugar do tamanho da clique máxima, pode ser muito mais eficiente para orientar a busca em um algoritmo tipo branch-and-bound para determinação de ( ) G χ . Uma dificuldade, porém, é tratar o modelo linear conhecido para ( ) F G χ , o qual apresenta um número exponencial de variáveis e demanda um caro processo de geração de colunas. Neste trabalho, examinamos uma formulação alternativa para obter um limite inferior para ( ) F G χ que possui um número de variáveis linear no tamanho do grafo, porém um número exponencial de restrições. Utilizamos o método de planos-de-corte para lidar com esse inconveniente. Algumas heurísticas de separação são propostas, e experimentos computacionais mostram que valores muito próximos de ( ) F G χ , em muitos casos iguais, são encontrados em tempo inferior à implementação com geração de colunas.Palavras-chave: número cromático; planos-de-corte; otimização combinatória. AbstractThe fractional chromatic number Este problema é um dos mais estudados em teoria dos grafos pela sua relevância tanto do ponto de vista teórico, visto que até mesmo achar uma aproximação para o número cromático é um problema computacionalmente difícil (Lund & Yannakakis, 1994), quanto do de aplicações, como escalonamento de tarefas (deWerra, 1985), alocação de frequências (Gamst, 1986), alocação de registros em compiladores (Chow & Hennessy, 1990) e o método de elementos finitos (Saad, 1996).A importância do problema de coloração tem incentivado a investigação de algoritmos enumerativos, orientados por limites inferiores, para o número cromático de G ou de subgrafos de G (Johnson & Trick, 1996). Historicamente, as primeiras tentativas nessa direção tomavam o provável tamanho de uma clique máxima como limite inferior, como é o caso dos algoritmos tipo branch-and-bound descritos por Brélaz (1979), Brown (1972), Glover, Parker & Ryan (1996), Kubale & Jackowski (1985), Peemöller (1983) e Sewell (1996. Porém, como o número cromático de um grafo pode ser arbitrariamente maior do que a sua clique máxima, essa abordagem tende a examinar um número de subproblemas que somente é tolerável para grafos com poucos vértices.Procurando reduzir o tamanho da árvore de busca, Mehrotra & Trick (1996) Este programa linear é usado para calcular limites inferiores para ( ) G χ pelo algoritmo apresentado por Mehrotra & Trick (1996), que se mostrou muito mais eficiente do que aqueles baseados no tamanho de uma clique maximal. No entanto, dado o número exponencial de variáveis em (1), essa abordagem encontra dificuldades, que podem ser contornadas de forma efetiva em alguns casos com um procedimento de geração de colunas também proposto por Mehrotra & Trick (1996). Ressaltamos que determinar ( ) F G χ é um problema NP-difícil (Lund & Yannakakis, 1994).Uma abordagem alternativa origina-se na formulação de programação inteira para o problema de...

Symmetry in Integer Linear Programming

“…Polyhedral results for this formulation can be found in [23,24,25] and [22] gives computational results. Investigation of a similar formulation for the stable set problem is available in [21].…”