Contruction of a smoothed DEA frontier

Abstract

It is known that the DEA multipliers model does not allow a unique solution for the weights. This is due to the absence of unique derivatives in the extreme-efficient points, which is a consequence of the piecewise linear nature of the frontier. In this paper we propose a method to solve this problem, consisting of changing the original DEA frontier for a new one, smooth (with continuous derivatives at every point) and closest to the original frontier. We present the theoretical development for the general case, exemplified with the particular case of the BCC model with one input and one output. The 3-dimensional problem is briefly discussed. Some uses of the model are summarised, and one of them, a new Cross-Evaluation model, is presented.Keywords: smoothed frontier, tradeoffs, Ritz method. ResumoO formulação dos multiplicadores para os modelos DEA não admite múltiplas soluções ótimas. Este fato pode ser interpretado no dual (modelo do envelope), como a inexistência derivadas nas DMUs extremo-eficientes, sendo esta propriedade, por seu turno, uma conseqüência da fronteira eficiente ser linear por partes. Neste artigo propõe-se substituir a fronteira original por outra, tão perto dela quanto possível, mas continuamente diferenciável. Nesta fronteira os multiplicadores sempre serão únicos para cada DMU. A teoria geral é deduzida e aplicada ao caso particular do modelo BCC com uma entrada e uma saída. A possível generalização do modelo é brevemente discutida, e são listadas algumas possíveis aplicações. É exemplificada uma das aplicações, a saber, um novo modelo de avaliação cruzada.

Efficiency and sustainability assessment for a group of farmers in the Brazilian Amazon

“…The values mentioned hereabove are the first ones calculated by the software we have used. This paper did not go further on multiplier analysis (for instance those carried out by Rosen et al 1998 or by Soares de Mello et al 2002).…”

Selection of corporate spare parts inventory for Brazilian refineries: a smoothed data envelopment analysis frontier function using calculus of variations

“…Meanwhile, the trade-offs for the outputs are unique, given the target on the frontier. This occurs because the smoothed frontier is differentiable in its entire domain, with unique tangent hyperplanes for each projection defining the sets of multipliers and the tradeoffs (Mello et al, 2002). Figure 1 shows a schematic example of a piecewise frontier (solid line) and the corresponding smoothed frontier (dotted line).…”

“…A different method, proposed by Mello et al (2002), consists of looking for a function that minimises the arc length (or its n-dimensional generalisation) and contains the vertices of the piecewise frontier. The minimisation of an arc length (or a surface function for the three-dimensional case) must be addressed by the Problem of the Minimal Surface.…”

“…It is important to notice that Equation (9.3) is based on (8.3b) because the frontier to be smoothed is an outputs versus outputs problem. If there were inputs versus outputs, Equation (8.3a) should be used instead, as done by Mello et al (2002) for a two-dimensional case. Because u(x,y) is a seconddegree polynomial function, the Hessian matrix constrain from (8.4) can be defined as (9.4).…”

Uso da suavização da fronteira na determinação de pesos únicos em modelos DEA CCR

“…das funções e suas derivadas, uma vez que a fronteira suavizada deve estar não só próxima da original, como também possuir derivadas semelhantes às dela, onde existirem as derivadas (Soares de Mello, 2002;Soares de Mello et al, 2002. No caso bidimensional, deve-se considerar o fato de que a região da fronteira que contém 2 DMUs eficientes consecutivas é um segmento de reta -que é o menor comprimento de arco entre dois pontos.…”