Sintonização de estados quânticos: um estudo numérico do oscilador harmônico quântico

Abstract

Recebido em 28/11/11; aceito em 6/3/12; publicado na web em 2/7/12 QUANTUM STATE TUNING: NUMERICAL STUDY OF THE QUANTUM HARMONIC OSCILLATOR. The quantum harmonic oscillator is described by the Hermite equation.1 The asymptotic solution is predominantly used to obtain its analytical solutions. Wave functions (solutions) are quadratically integrable if taken as the product of the convergent asymptotic solution (Gaussian function) and Hermite polynomial, 1 whose degree provides the associated quantum number. Solving it numerically, quantization is observed when a control real variable is "tuned" to integer values. This can be interpreted by graphical reading of Y(x) and |Y(x)| 2 , without other mathematical analysis, and prove useful for teaching fundamentals of quantum chemistry to undergraduates.Keywords: harmonic oscillator; numerical solution; quantization. INTRODUÇÃO Apresentação geralA Equação de Schrödinger (independente do tempo) é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, que pode ter soluções analíticas para sistemas descritos como problemas de uma partícula efetiva (Equação1), como é o caso do oscilador harmônico quântico.(1) em que r representa o vetor posição da partícula que compõe o problema, V(r) é o operador energia potencial do sistema, é o operador energia cinética, E é a energia total do sistema, Y(r) é a função de onda que descreve o sistema, h é a constante de Planck e m é a massa do sistema.A Química Quântica, normalmente, é introduzida nos cursos de graduação em Química sem que haja um embasamento físico e matemático adequado para que a transição do modelo clássico para o modelo quântico da matéria seja feita de forma plenamente satisfatória. Desta maneira, verifica-se a existência de dificuldades de entendimento das equações e das funções de onda por parte dos alunos, mesmo para os casos em que é possível obter soluções analíticas, ou seja, em geral para os casos mais simples.Como a Equação de Schrödinger é uma equação diferencial de 2ª ordem (EDO), pode ser quebrada em duas equações diferenciais ordinárias acopladas de 1 a ordem. Pela introdução de uma metodologia numérica simples e intuitiva de solução, como o método de Euler, 2 o sistema de equações é reduzido a apenas uma equação de identidade e outra de recorrência para que os problemas sejam resolvidos numericamente, ou seja, são necessárias apenas duas linhas de equações. Sendo assim, tal método numérico poderia auxiliar no aprendizado da Química Quântica, podendo ser útil para a visualização e interpretação de soluções de sistemas que são solúveis analiticamente (ou não), diminuindo os empecilhos matemáticos.De maneira geral, as equações de identidade e de recorrência que o método de Euler fornece para a resolução numérica de qualquer EDO de 2ª ordem são, respectivamente: Essas duas equações podem ser resolvidas numericamente utilizando-se derivadas finitas (método de Euler) 2 dadas por . Dessa maneira, as Equações 5 e 6 podem ser escritas da seguinte maneira, respectivamente:(5') e , (6')