Umbilic and Tangential Singularities on Configurations of Principal Curvature Lines

Abstract

In this paper is studied the relationship between quadratic tangencies of principal lines with the boundary of a surface and the Darbouxian umbilics of a smooth boundaryless surface which approximates it through the process of thickening and smoothing defined here.

Configurações das linhas de curvatura principal sobre superfícies seccionalmente suaves

“…Em [5], Garcia e Sotomayor definiram a regularização de superfícies em R 3 usando uma função de transição específica. Para ε > 0 suficientemente pequeno, a ε-regularização de uma superfície S é um mergulho de S em R 3 que coincide com a identidade exceto em uma ε-vizinhança tubular da curva δ e cuja imagem, S ε , é uma superfície suave (observando que S é suave somente no complementar da curva δ).…”

“…Vamos supor que a orientação positiva sobre B é definida pelo campo de vetores unitários tangente T = T + T + . Veja em [5] exemplos de tais superfícies.…”

“…Em 2002, Garcia e Sotomayor [5], deram um primeiro passo no sentido de estender, para superfícies S com bordo B, as propriedades de estabilidade das configurações principais obtidas em [7,8] para superfícies sem bordo. Outro tipo de deformação de (S, B) foi introduzida por estes autores em [5], onde o estudo da configuração principal de (S, B) foi feito por comparação com a configuração principal de uma deformação apropriada S ε,µ , a qual foi obtida através dos processos de ε-engrossamento e µ-regularização (ou µ-suavização) aplicados à superfície com bordo.…”

“…No presente trabalho propomos abordar uma situação mais geral de superfícies suaves por partes, acima discutidas, a partir do trabalho [5]. Na primeira parte da tese (capítulos 2 e 3) consideramos a superfície suave por partes S = S + ∪ B ∪ S − , obtida pela justaposição de duas superfícies suaves (S + , B) e (S − , B) ao longo do bordo comum B e estudamos os efeitos da regularização sobre os pontos de B de contato quadrático ou de cruzamento transversal.…”

“…Na primeira parte da tese (capítulos 2 e 3) consideramos a superfície suave por partes S = S + ∪ B ∪ S − , obtida pela justaposição de duas superfícies suaves (S + , B) e (S − , B) ao longo do bordo comum B e estudamos os efeitos da regularização sobre os pontos de B de contato quadrático ou de cruzamento transversal. Na segunda parte do trabalho (capítulo 4) damos continuidade ao estudo iniciado em [5] por Garcia e Sotomayor, analisando um caso complementar, no qual o contato de uma linha de curvatura principal com o bordo B é cúbico, dito tangencialmente crítico. Apresentamos as condições para que destes pontos de contato quadrático, cruzamento transversal e de contato cúbico emerjam, sobre a superfície regularizada, pontos umbílicos.…”