Génesis Semiótica de los Enteros

Abstract

ResumenLa presentación tradicional del anillo de los enteros se enfrenta a dificultades de comprensión del producto por parte de los alumnos, con la famosa regla de los signos. Nuestra hipótesis de trabajo es que la sola representación del producto de dos naturales como área de un rectángulo puede dificultar la visión del producto de dos enteros, y que entonces, en el esquema de los Espacios de Trabajo Matemático, se necesita otro soporte visual para la génesis semiótica de los enteros. Experimentamos un recurso didáctico vinculado con una construcción publicada por Descartes en su suplemento geométrico del Discurso del Método. Observamos que este acercamiento geométrico del producto puede generar dificultades, en particular relacionadas con la propiedad distributiva del producto sobre la suma. Una explicación resulta de la consideración del producto de enteros como procept. De donde surge la propuesta de tomar en cuenta la homotecia para la elaboración de una progresión didáctica al servicio de la enseñanza de los enteros y más generalmente de los números con signo. AbstractThe traditional presentation of the integers ring generates difficulties for learning the product with its wellknown signs rule. Our working hypothesis is that the solely representation of the product of two natural numbers by the area of a rectangle can hinder the vision of the product of two integers. Referring us to the scheme of Mathematical Working Spaces, we need another representation for the semiotic genesis of the integers. We tested didactical resources coming out from a geometrical construction made by Descartes in his geometric supplement of the Discourse on the Method, but we observed that this geometric introduction of the product can also produce difficulties, because it does not easily illustrate the distributive law. We may explain this phenomenon considering the product of numbers as a procept. Thus, the homothetic transformations of the Cartesian plane constitute a convenient geometrical resource that we may propose for teaching of the integers and, more generally, the numbers with a sign.

Apprentissages algébriques

“…Dans les manuels scolaires de diverses époques et divers pays dont nous avons pu avoir connaissance, la distributivité du produit sur la somme ou bien est une règle affirmée sans aucune justification, ou bien est accompagnée d'une figure représentant La figure 9 illustre cette distributivité, passant par l'interprétation de la somme comme une translation : la flèche qui va de O à b est égale à celle qui va de c à b + c, et l'observation de la congruence des deux triangles grisés permettent de justifier que a(b + c) et ab + ac désignent le même point. Mais les expérimentations que nous avons pu conduire, jusqu'en formation de professeurs de mathématiques (Pluvinage et Flores, 2016) ont montré la difficulté de cette démarche. En revanche de même que la construction de Descartes, l'homothétie de rapport positif ou négatif présente le produit comme une longeur et conduit à une interprétation géométrique sensible de la règle des signes, tout en mettant en évidence la propriété de distributivité du produit sur la somme.…”