A Integral de Caminhos: Uma Ponte entre a Mecânica Quântica e a Mecânica Clássica

Abstract

A integral de caminhos de Feynman coloca de saída a ação clássica no cerne da evolução quântica. Ao invés de apenas contrastar a multiplicidade de caminhos quânticos com a raridade das trajetórias clássicas, podemos nos valer do princípio variacional que as identificam para construir abrangentes aproximações semiclássicas para o operador de evolução. A transformada de Fourier de seu traço fornece então a densidade de níveis quânticos de energia como uma soma sobre asórbitas periódicas clássicas: a fórmula do traço de Gutzwiller. Asórbitas peródicas também explicam as correlações entre os níveis, seguindo padrões universais de matrizes aleatórias se o sistema clássico for caótico. Ao reverso, discrepâncias entre os espectros universais e os semiclássicos desvendaram correlações entreórbitas periódicas, nunca vislumbradas ao longo da história da mecânica clássica. Palavras-chave: integral de caminho, trajetória clássica, princípio variacional,órbita periódica, densidade de níveis, matrizes aleatórias.The Feynman path integral places the classical action in the very core of quantum evolution. Instead of contrasting the multiplicity of quantum paths with the scarcity of classical trajectories, we can avail ourselves of the variational principle by which they are identified. This leads to wide ranging semiclassical approximations for the evolution operator. The Fourier transform of the trace of this operator then supplies the density of quantum energy levels as a sum over the classical periodic orbits: The Gutzwiller trace formula. The periodic orbits also explain the correlations between levels, following universal classes of random matrices, if the classical system is chaotic. Conversely, discrepancies between the semiclassical spectra and the universal random matrix spectra uncouvered correlations between periodic orbits that had never been suspectected in the long history of classical mechanics. Keywords: path integral, classical trajectory, variational principle, periodic orbit, level density, random matrices.Ainda que as formulações de Heisenberg e de Schrödin-ger da mecânica quântica invoquem alguns elementos básicos da mecânica clássica, estes surgem de tal forma transfigurados que poderíamos bem duvidar que lidam com os mesmos sistemas. Afinal, a trajetória, solução das equações de Newton, Lagrange, ou Hamilton, personagem central da mecânica clássica, simplesmente some da mecânica quântica. Ou melhor, na reformulação de Feynman, ela retorna, mas apenas como um membro qualquer do coro, um dos múltiplos caminhos que contribuem democraticamente para o propagador.É na aproximação semiclássica que a trajetória readquire um certo destaque ao organizar a fase dos caminhos vizinhos de forma a diminuir radicalmente o número de contribuições ao propagador. A rica interação entre as mecânicas clássica e quântica que daí decorre mal poderia ser antevista quando da formulação da integral de caminhos, mas tem sobre esta uma base sólida. * Endereço de correspondência: alfredozorio@gmail.com.É bom frisar que a relação entr...