As Simetrias de Lie de um Pião

Abstract

A existência de simetrias em equações diferenciais pode gerar transformações em variáveis dependentes e independentes que facilitam a integração destas equações. Em especial, Sophus Lie desenvolveu no século XIX uma forma de extração de simetrias que podem ser usadas efetivamente para revelar as integrais primeiras, ou seja, as constantes de movimento, que muitas vezes podem estar escondidas. Estes invariantes podem em algumas situações ser identificados pelo teorema de Noether ou a partir de manipulações das próprias equações com transformações de Lie. Nos cursos iniciais de mecânica clássica, apesar de todo o formalismo em cima dos teoremas de conservação de energia e momento linear/angular, a relação disto com a existência de possíveis simetrias de Lie não é destacada de forma clara e objetiva. Neste sentido, o presente artigo busca apresentar uma introdução às simetrias de Lie usando uma linguagem acessível para um aluno de graduação de física, matemática ou engenharia com domínio básico em fundamentos de cálculo com várias variáveis. Para ilustrar a abordagem, considera-se um problema clássico de mecânica considerando um pião em regime de movimento com precessão estacionária. A partir das equações de movimento obtidas, as simetrias de Lie são identificadas e usadas na transformação para a redução da ordem. As integrais primeiras são obtidas a partir deste resultado com o Teorema de Noether, mostrando que neste exemplo e condição as simetrias de Lie também são simetrias de Noether. Por fim, a resolução das equações de movimento podem ser feitas usando funções elípticas de Jacobi para a obtenção dos ângulos de precessão, nutação e spin nas condições apresentadas.