C*-Álgebras e a Descrição da Mecânica Quântica

Abstract

Neste artigo apresentamos a Teoria das C * -Álgebras. Demonstramos dois importantes resultados que são: o Teorema de Gelfand, que associa toda C * -Álgebra Abelianaàs funções contínuas sobre um espaço Hausdorff compacto, e o Teorema de Gelfand-Neumark, que relaciona toda C * -Álgebra não Abeliana aos operadores lineares sobre um espaço de Hilbert. Em seguida, mapeamos a Mecânica Clássica dentro da teoria da C * -Álgebra, obtendo uma prescrição algébrica para os estados eàs observáveis clássicas. Ao estendermos essa construção para o caso Quântico, preservando a prescrição algébrica e utilizando o Princípio da Incerteza, obtemos que os estados quânticos devem ser descritos por vetores do Espaço de Hilbert enquanto que os observáveis quânticos são os operadores auto-adjuntos sobre este espaço; discutimos brevemente sobre aÁlgebra de Weyl. Palavras-chave: Mecânica Quântica, C * -Álgebras, Teorema de Gelfand-Neumark.In this paper we present the theory of C * -Algebras. We show two major results that are Gelfand's Theorem, which associates every Abelian C * -Algebra as continuous functions on a compact Hausdorff space, and the Gelfand-Neumark Theorem, which relates all non-Abelian C * -Algebra to linear operators on a Hilbert space. Then we map the Classical Mechanics into the C * -Algebra's theory, obtaining an algebraic prescription for classical states and observables. When we extend this construction to the Quantum case, preserving the algebraic prescriptions and using the Uncertainty Principle, we obtain that quantum states must be described by vectors in a Hilbert space while quantum observables are the self-adjoint operators on this space; we briefly discussed the Weyl's Algebra. Keywords: Quantum Mechanics, C * -Algebras, Gelfand-Neumark Theorem. IntroduçãoUma das inquietudes iniciais de quase todos os estudantes ao se depararem pela primeira vez com a Mecânica Quânticaé a sua descrição Matemática. Enquanto os estados na Mecânica Clássica são tipicamente vetores que guardam os dados de posição e momento de cada partícula do sistema (portanto, elementos de um espaço vetorial de dimensão finita), enquanto as observáveis são funções nesses espaços (como temperatura, pressão e energia, por exemplo), na Mecânica Quântica temos um modelo bem mais sofisticado. A necessidade de um Espaço de Hilbert para descrever os estados e de operadores auto-adjuntos para caracterizar os observáveis, quebra intuitivamente a noção clássica onde os estados e observáveis são elementos de um espaço de fase e funções contínuas sobre esse espaço, respectivamente. O presente artigo tem como objetivo mostrar que, se tomarmos a descrição da Mecânica Clássica baseada nas C * -Álgebras, podemos obter que a descrição Matemática * Endereço de correspondência: sergio.floquet@univasf.edu.br.para o caso Quânticoé naturalmente dada por operadores auto-adjuntos sobre um espaço de Hilbert, fazendo uso somente do Princípio da Incerteza. Essa abordagem se mostrou mais que profícua a partir da construção GNS (Gelfand-Neumark-Segal). Como muito da teori...