A Sutileza dos Quatérnions no Movimento de Rotação de Corpos Rígidos

Abstract

A parametrização da velocidade angular instantânea de um corpo rígidoé usualmente descrita nos cursos de mecânica clássica com o auxílio dosângulos de Euler. No entanto, para evitar problemas de singularidade na integração numérica das equações de movimento de rotação, outras formas de parametrização são mais interessantes. Dentre as diversas opções, os quatérnions são uma escolha bastante popular e com forte apelo prático na parametrização e integração das equações de Euler. Neste sentido, o presente artigo contribui com uma apresentação didática e comparação da integração numérica das equações de Euler para descrição do movimento de um giroscópio com a cinemática inversa solucionada viaângulos de Euler e por quatérnions, que não são comumente descritas em livros didáticos clássicos em um primeiro curso de mecânica. Busca-se mostrar que além deste trunfo numérico, a integração das equações de movimento com parametrização via quatérnions também pode ser usada com um fim didático mais nobre: introduzir e motivar os estudantes de um curso de mecânica, tanto físicos como engenheiros, no uso de outros sistemas algébricos mais avançados, como aÁlgebra Geométrica (Álgebra de Clifford). Palavras-chave: Rotações. Giroscópio. Orientação no espaço. Singularidades.Ângulos de Euler. Quatérnions.Álgebra geométrica.The angular velocity of a rigid body is usually described in classical mechanics courses by using Euler angles. However, in order to avoid singularity problems on the numerical integration of the motion equations, another ways are more interesting. Among them, the quaternions are a very popular choice and with a strong practical appeal on the parameterization and integration of the Euler's equations. In this sense, this paper proposes a comparison between the numerical integration of the Euler equations of a gyroscope with the inverse kinematics solved through Euler angles and by quaternions, that are not commonly described in classical mechanics textbooks on a first mechanical course. The goal is to show that apart the numerical asset, the integration of the motion equations with the quaternions parameterization also can be used with a noblest didactical way: to introduce and motivate the students with the use of others more advanced algebraic systems, as Geometric Algebra (Clifford's Algebra). Keywords: Gyroscope, Quaternions, Euler Angles, Geometric Algebra, Rigid Body Rotation in Space. IntroduçãoA parametrização de rotações finitas de um corpo rígido no Espaço Euclidiano foi descrita magistralmente por Euler em 1775 a partir do uso de três rotações sequenciais. Este resultado foi um corolário obtido a partir de seu teorema, conhecido hoje como * Endereço de correspondência: andreysonj@gmail.com.br. † Endereço de correspondência: samuel@dem.feis.unesp.br.Teorema de Rotação de Euler, que demonstrou que qualquer rotação de um corpo com um ponto fixo pode ser descrita por uma rotação própria em torno de um eixo de rotação, conhecido como Eixo de Euler, solidário ao giro do próprio corpo [1,2].Até os dias atuais es...

Uso do acelerômetro e giroscópio no monitoramento de movimento: uma avaliação comparativa por meio de unidade inercial e smartphone

“…Alternativa para representar a rotação e orientação e superar o problema do ''gimbal lock dos ângulos'' de Euler e a limitação da representação por segmentos do sistema cartesiano é o quatérnion 6 . O quatérnion q é usado para representar a rotação e orientação de um objeto por meio de três variáveis vetoriais x, y e z e uma variável escalar w. Estas três variáveis vetoriais representam a posição no espaço e a variável escalar representa o ângulo de rotação do sistema, como está apresentado a seguir:…”