Скрученные $\sigma$-разделимые линейные рекуррентные последовательности максимального периода

Abstract

Пусть $p$ - простое число, $R=\mathrm{GR}(q^d,p^d)$ - кольцо Галуа мощности $q^d$ и характеристики $p^d$, где $q = p^r$, $S=\mathrm{GR}(q^{nd},p^d)$ - расширение степени $n$ кольца $R$, $\sigma$ - автоморфизм Фробениуса кольца $S$ над $R$. Изучаются последовательности $v$ над $S$ с законами рекурсии $$ \forall i\in\mathbb{N}_0 \colon v(i+m) = s_{m - 1}\sigma^{k_{m-1}}(v(i+m-1))+\ldots+s_1\sigma^{k_1}(v(i+1)) + s_0\sigma^{k_0}(v(i)), $$ где $s_0,\ldots,s_{m-1 }\in S, k_{0},\ldots, k_{m-1}\in \mathbb{N}_{0}$. Такие последовательности названы $\sigma$-разделимыми скрученными линейными рекуррентными последовательностями (ЛРП). Максимально возможный период последовательности такого вида равен $(q^{mn}-1)p^{d-1}$. Получены необходимые условия максимальности периода $\sigma$-разделимых ЛРП. Для $\sigma$-разделимых ЛРП максимального периода при некоторых ограничениях доказана принадлежность к классу нелинеаризуемых ЛРП и исследованы такие алгебраические характеристики, как ранг и единственность минимального многочлена.