Two types of permutation polynomials with special forms

Abstract

Let q be a power of a prime and F q be a finite field with q elements. In this paper, we propose four families of infinite classes of permutation trinomials having the form cx − x s + x qs over F q 2 , and investigate the relationship between this type of permutation polynomials with that of the form (x q − x + δ) s + cx. Based on this relation, many classes of permutation trinomials having the form (x q − x + δ) s + cx without restriction on δ over F q 2 are derived from known permutation trinomials having the form cx − x s + x qs .

On Inverses of Permutation Polynomials of Small Degree Over Finite Fields

“…Recently, some classes of PPs are found; see for example [10,13,23,24,26] for PPs of the form x r h(x q−1 ) of F q 2 , [16,27] for PPs of the form (x q − x + c) s + L(x) of F q 2 , [9,25,31] for PPs of the form (ax q + bx + c) r φ((ax q + bx + c) s ) + ux q + vx of F q 2 , and [1,4,7] for PPs studied by using the Hasse-Weil bound and Hermite's criterion.…”

Polinômios de permutação e q-polinômios

“…Começaremos apresentando definições e resultados básicos, e na primeira seção falaremos sobre o grupo dos polinômios de permutação. Na segunda seção, destacamos nossa generalização (Proposição 3.22) de um resultado apresentado em [21]. Através dela, apresentaremos novos exemplos de polinômios de permutação (Teorema 3.27).…”

“…Talvez inspirados por esses teoremas, diversos autores buscaram equivalências para bijeções entre diferentes classes de polinômios. Nessa seção, destacamos nossa generalização da Proposição 3 de [21]. Sua demonstraçãoé análogaà original e baseia-se apenas no Teorema 3.20, mas merece ser apresentada.…”

“…Seguindo esse pensamento, também focamos nossos estudos em duas classes polinomiais definidas sobre corpos finitos: os polinômios de permutação, que induzem uma bijeção no corpo de coeficientes, e os q-polinômios, em cujas expressões a variável só admite expoentes que sejam potências da característica do corpo. Os fundamentos para este trabalho podem ser encontrados nos capítulos 2, 3 e 7 de [15] e os principais artigos complementares são [20], [21], [7] e [3].…”

“…No segundo capítulo, apresentamos aálgebra dos q-polinômios, bem como a sua identificação com aálgebra de matrizes de Dickson. O terceiro capítulo trata do grupo de polinômios de permutação, e nele destacamos a Proposição 3.22, queé nossa generalização da Proposição 3 de [21]. Em seguida, nós relacionamos essas duas classes polinomiais: no quarto capítulo, estudamos a bijetividade de alguns polinômios e apresentamos dois métodos para se construir q-polinômios de permutação, enquanto que no quinto capítulo estudamos polinômios planares, baseados em [3], mas com uma abordagem diferente: ao invés de usarmos curvas algébricas, usamos o Teorema 4.…”