Noncommutative algebras, nano-structures, and quantum dynamics generated by resonances. III

Karasev, M. V.

doi:10.1134/s1061920806020026

Cited by 22 publications

(47 citation statements)

References 29 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…It is based on an algebraic averaging of the perturbation, followed by the passage to the symmetry algebra, and a coherent transformation from the original representation of this algebra to an irreducible representation of that algebra in the space of functions over a Lagrangian submanifold in a symplectic leaf. Later on, this method was extended to a wide class of problems with frequency resonances [10], [11]. It has been worked through on a number of physical models [12]- [14].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Asymptotics of the spectrum of the hydrogen atom in a magnetic field near the lower boundaries of spectral clusters

Pereskokov

2013

Trans. Moscow Math. Soc.

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. We investigate the second-order Zeeman effect in a magnetic field using irreducible representations of an algebra with the Karasev -Novikova quadratic commutation relations. To each such representation there corresponds a spectral cluster near the energy level of the unperturbed hydrogen atom. Using this model as an example, we describe a general method for constructing asymptotic solutions near the boundaries of spectral clusters based on a new integral representation. We also study the problem of computing quantum averages near the lower boundaries of clusters.

show abstract

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Asymptotics of the spectrum of the hydrogen atom in a magnetic field near the lower boundaries of spectral clusters

Pereskokov

2013

Trans. Moscow Math. Soc.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Пуассо-нова структура на пространстве симметрий была исследована для некоторых частных случаев резонанса, например, в [7]- [9]. В работе [10] было показано, что алгебра симметрий общего резонансного осциллятора является алгеброй с конечным числом образующих и полиноми-альными соотношениями. Она была названа резонансной алгеброй.…”

Section: алгебра и квантовая геометрия многочастотного резонансаunclassified

“…Резонансные алгебры, отвечающие многочастотному кванто-вому осциллятору, которые были найдены в [11]- [13], также относятся к классу квантовых алгебр, но число их образующих, вообще говоря, уже больше раз-мерности спектра.…”

Section: алгебра и квантовая геометрия многочастотного резонансаunclassified

“…Конечно, в двухчастотном случае описание кванто-вой резонансной алгебры достаточно простое, оно было получено в [12], [13] параллельно с описанием классической алгебры. Однако случай квантового многочастотного резонанса при 3 оказался намного сложнее своей класси-ческой версии.Случаи трех и более частот принципиально отличаются от двухчастотного тем, что резонансная решетка векторов "рождения" (переходов между точка-ми спектра операторов действия) имеет аномалию [10]. В настоящей работе мы показываем, что в этой аномальной решетке можно выделить максималь-ные нормальные подрешетки.…”

unclassified

See 2 more Smart Citations

Алгебра И Квантовая Геометрия Многочастотного Резонанса

Karasev¹,

Новикова²

2010

Izv. RAN. Ser. Mat.

View full text Add to dashboard Cite

Алгебра и квантовая геометрия многочастотного резонансаАлгебра симметрий квантового резонансного осциллятора в случае трех и более частот описана с помощью конечного (минимального) числа образующих и полиномиальных соотношений. Для этой алгебры указаны конструкция квантовых листов с комплексной структурой (аналог клас-сических симплектических листов), а также конструкции квантовой кэле-ровой 2-формы, воспроизводящей меры, соответствующих неприводимых представлений и когерентных состояний.Библиография: 40 наименований.Ключевые слова: частотный резонанс, алгебра симметрий, нели-нейные коммутационные соотношения, квантовые кэлеровы формы, ко-герентные состояния. § 1. Введение В волновой и квантовой механике многомерных систем фундаментальную роль играют состояния, локализованные вблизи устойчивого положения равно-весия [1]- [3]. Гармоническая часть таких систем -осциллятор -задает главную составляющую движения, в то время как ангармоническая часть представляет возмущение. После процедуры квантового усреднения это возмущение начи-нает коммутировать с гармонической частью, т. е. задает элемент из ее ком-мутанта (алгебры симметрий). Если частоты гармонической части находятся в резонансе, то алгебра симметрий некоммутативна. Факт некоммутативности приводит к нетривиальной динамике усредненной системы и порождает ряд интересных эффектов.В классической механике симметрии резонансного осциллятора изучались давно (см., например, [4], [5] и ссылки в фундаментальном обзоре [6]). Пуассо-нова структура на пространстве симметрий была исследована для некоторых частных случаев резонанса, например, в [7]- [9]. В работе [10] было показано, что алгебра симметрий общего резонансного осциллятора является алгеброй с конечным числом образующих и полиноми-альными соотношениями. Она была названа резонансной алгеброй.Гармоническая часть исходной системы представляет элемент Казимира (центр) резонансной алгебры. Усредненная ангармоническая часть задает еще один гамильтониан на резонансной алгебре. В устойчивом случае, когда все резонансные частоты положительны, этот гамильтониан соответствует некото-рой возникшей за счет резонанса квазичастице, которую мы называем гиро-ном. Оказалось, что описание самой резонансной алгебры и анализ состояний (прецессии) гирона сопровождаются появлением необычной квантовой геомет-рии [11]-[14]. Обнаруженные здесь новые алгебраические и геометрические объекты позволили решить давно стоявшую проблему об асимптотике спектра и волновых состояний в нано-и микрозонах вблизи резонансов.Рассматриваемая задача о резонансах имеет два важных аспекта. Во-пер-вых, она охватывает широкий круг базовых моделей волновой оптики и кванто-вой нанофизики. Во-вторых, как оказалось, она доставляет интересный класс алгебр, заданных конечным числом образующих с полиномиальными, в об-щем случае нелинейными соотношениями, для которых возможно построение полной теории неприводимых представлений, включая обобщение на базе кван-товой геометрии известного метода орбит (разработанного для случая алгебр Ли [15]).Систематическое рассмотрение...

show abstract

Resonance Gyrons and Quantum Geometry

Karasev

Progress in Mathematics

View full text Add to dashboard Cite

We describe irreducible representations, coherent states and starproducts for algebras of integrals of motions (symmetries) of twodimensional resonance oscillators. We demonstrate how the quantum geometry (quantum Kähler form, metric, quantum Ricci form, quantum reproducing measure) arises in this problem. We specifically study the distinction between the isotropic resonance 1 : 1 and the general l : m resonance for arbitrary coprime l, m. Quantum gyron is a dynamical system in the resonance algebra. We derive its Hamiltonian in irreducible representations and calculate the semiclassical asymptotics of the gyron spectrum via the quantum geometrical objects.

show abstract

Noncommutative algebras, nano-structures, and quantum dynamics generated by resonances. III

Cited by 22 publications

References 29 publications

Asymptotics of the spectrum of the hydrogen atom in a magnetic field near the lower boundaries of spectral clusters

Asymptotics of the spectrum of the hydrogen atom in a magnetic field near the lower boundaries of spectral clusters

Алгебра И Квантовая Геометрия Многочастотного Резонанса

Resonance Gyrons and Quantum Geometry

Contact Info

Product

Resources

About