Non-commutative Hamilton-Cayley theorem and roots of characteristic polynomials of skew maximal period linear recurrences over Galois rings

2019

Self Cite

Пусть $p$ - простое число, $R=\mathrm{GR}(q^d,p^d)$ - кольцо Галуа мощности $q^d$ и характеристики $p^d$, где $q = p^r$, $S=\mathrm{GR}(q^{nd},p^d)$ - расширение степени $n$ кольца $R$ и $\check{S}$ - кольцо эндоморфизмов модуля $_RS$. Последовательность $v$ над $S$, удовлетворяющую закону рекурсии $$ \forall i\in\mathbb{N}_0 :\;\;\;v(i+m)= psi_{m-1}(v(i+m-1))+...+\psi_0(v(i)),\;\;\;\psi_0,...,\psi_{m-1}\in\check{S},$$ будем называть скрученной линейной рекуррентной последовательностью над $S$ с характеристическим многочленом $\Psi(x) = x^m - \sum_{j=0}^{m-1}\psi_jx^j$. Максимально возможный период последовательности такого вида равен $\tau=(q^{mn}-1)p^{d-1}$. В работе предлагаются новые методы построения многочленов $\Psi(x)$, задающих законы рекурсии для скрученных линейных рекуррентных последовательностей максимального периода. Данные методы основаны на поиске в кольце $\check{S}[x]$ делителей классических многочленов Галуа над $R$ периода $\tau$.

Методы Построения Скрученных Линейных Рекуррентных Последовательностей Максимального Периода, Базирующиеся На Факторизации Многочленов Галуа В Кольце Матричных Многочленов

2019

Self Cite

New representaions of elements of skew linear recurrent sequences via trace function based on the noncommutative Hamilton - Cayley theorem

2021

Пусть $p$ - простое число, $R=\mathrm{GR}(q^d,p^d)$ - кольцо Галуа мощности $q^d$ и характеристики $p^d$, где $q = p^r$, $S=\mathrm{GR}(q^{nd},p^d)$ - расширение степени $n$ кольца $R$, а $\mathrm{End}(_RS)$ - кольцо эндоморфизмов модуля $_RS$. Последовательность $v$ над $S$, удовлетворяющая закону рекурсии $$ \forall i\in\mathbb{N}_0\colon v(i+m)= \psi_{m-1}(v(i+m-1))+\ldots+\psi_0(v(i)), $$ $\psi_0,\ldots,\psi_{m-1 }\in \mathrm{End}(_RS)$, называется скрученной линейной рекуррентной последовательностью (ЛРП) над $S$; ее максимально возможный период равен $(q^{mn}-1)p^{d-1}$. С использованием функции след для представлений элементов скрученной ЛРП максимального периода доказано, что такая ЛРП линеаризуема, если коэффициенты в законе рекурсии попарно коммутируют.

Скрученные $\sigma$-разделимые линейные рекуррентные последовательности максимального периода

2022

Пусть $p$ - простое число, $R=\mathrm{GR}(q^d,p^d)$ - кольцо Галуа мощности $q^d$ и характеристики $p^d$, где $q = p^r$, $S=\mathrm{GR}(q^{nd},p^d)$ - расширение степени $n$ кольца $R$, $\sigma$ - автоморфизм Фробениуса кольца $S$ над $R$. Изучаются последовательности $v$ над $S$ с законами рекурсии $$ \forall i\in\mathbb{N}_0 \colon v(i+m) = s_{m - 1}\sigma^{k_{m-1}}(v(i+m-1))+\ldots+s_1\sigma^{k_1}(v(i+1)) + s_0\sigma^{k_0}(v(i)), $$ где $s_0,\ldots,s_{m-1 }\in S, k_{0},\ldots, k_{m-1}\in \mathbb{N}_{0}$. Такие последовательности названы $\sigma$-разделимыми скрученными линейными рекуррентными последовательностями (ЛРП). Максимально возможный период последовательности такого вида равен $(q^{mn}-1)p^{d-1}$. Получены необходимые условия максимальности периода $\sigma$-разделимых ЛРП. Для $\sigma$-разделимых ЛРП максимального периода при некоторых ограничениях доказана принадлежность к классу нелинеаризуемых ЛРП и исследованы такие алгебраические характеристики, как ранг и единственность минимального многочлена.