Finiteness of relative equilibria of the four-body problem

Hampton, Marshall; Moeckel, Richard

doi:10.1007/s00222-005-0461-0

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“…In the planar case these configurations also give rise to relative equilibria-orbits in which each particle moves on a circle at a common angular speed. For the Newtonian three-body and four-body problems it is known that central configurations in dimensions one, two, and three are finite for positive masses (Euler 1767;Lagrange 1772;Moulton 1910;Hampton and Moeckel 2006). There is also a generic finiteness result for 'Dziobek configurations' which applies to the case we are studying (Moeckel 2001) since the dimension of our configurations is n − 2.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 79%

“…Our proof strategy will be the same as that of Hampton and Moeckel (2006), but where they use the theory of Bernstein (1975), Khovanskii (1977), and Kushnirenko (1976) we will use the language of tropical geometry. Our equations for central configurations (described in Sect.…”

Section: Tropical Geometrymentioning

confidence: 99%

“…The first version is identical to that discussed in Hampton and Moeckel (2006), namely the polynomial versions (with denominators cleared) of…”

Section: Equations For the Spatial Casementioning

confidence: 99%

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Finiteness of spatial central configurations in the five-body problem

Hampton

Jensen

2011

Celest Mech Dyn Astr

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Section: Introductionmentioning

confidence: 79%

Section: Tropical Geometrymentioning

confidence: 99%

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Finiteness of spatial central configurations in the five-body problem

Hampton

Jensen

2011

Celest Mech Dyn Astr

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“…, m n ? Hampton and Moeckel in (2006), proved this conjecture for the 4-body problem. The conjecture remains open for n > 4.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 83%

New stacked central configurations for the planar 5-body problem

Llibre

Mello

Pérez‐Chavela³

2011

Celest Mech Dyn Astr

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Abstract. A stacked central configuration in the n-body problem is one that has a proper subset of the n-bodies forming a central configuration. In this paper we study the case where three bodies with masses m1, m2, m3 (bodies 1, 2, 3) form an equilateral central configuration, and the other two with masses m4, m5 are symmetric with respect to the mediatrix of the segment joining 1 and 2, and they are above the triangle generated by {1, 2, 3}. We show the existence and non-existence of this kind of stacked central configurations for the planar 5-body problem.

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“…Recentemente, Hampton e Moeckel [10] responderam afirmativamente a questão acima para n = 4, mostrando que, neste caso, o número de configurações centrais planares não equivalentes está entre 32 e 8472.…”

Section: Introductionunclassified

Configurações centrais planares encaixantes

Mello

Fernandes

2007

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Neste artigo estudamos configurações centrais planares para o problema de seis corpos, mostrando a existência de uma família de tais configurações com as seguintes propriedades: os seis corpos estão sobre os vértices de dois triângulos equiláteros com baricentros coincidentes, estando o triângulo equilátero de lado menor girado de π/3 em relação ao triângulo equilátero de lado maior. Palavras-chave: problema de n corpos, configurações centrais planares.In this paper we show the existence of a family of planar central configurations for the 6-body problem with the following properties: the six bodies are on the vertices of two equilateral triangles with common barycenters and the smaller triangle is rotated of π/3 with respect to the larger one. Keywords: n-body problem, planar central configurations.Dedicado ao professor Sdnei de Brito Alves (in memorian) IntroduçãoO clássico problema de n corpos em mecânica celeste consiste no estudo da dinâmica de n massas interagindo de acordo com lei da gravitação universal proposta por Newton [1]. Considere n partículas de massas positivas m i ocupando posições q i ∈ IR 3 , i = 1, 2, . . . , n. Deste modo, as equações diferenciais que regem o problema de n corpos são dadas porpara i = 1, 2, . . . , n. Em (1) estamos adotando um referencial em relação ao qual a constante de gravitação universal tem 1 unidade. Dizemos que as n massas formam uma configuração central se o vetor aceleração de cada partículaé proporcional ao seu vetor posição relativo ao centro de massa do sistema, ou seja, se existir λ positivo tal quë q i = λq i , para todo i = 1, 2, . . . , n. Assim, da Eq. (1), as equações que regem o problema de n corpos numa configuração central são dadas por As configurações centrais permitem obter asúnicas soluções explícitas do problema de n corpos conhecidas até hoje, que são as chamadas soluções homográficas, para as quais as razões das distâncias mútuas entre os corpos permanecem constantes. Além do mais, as configurações centrais estão relacionadas com algumas modificações topológicas dos conjuntos de nível de energia h e de momento angular c do problema de n corpos [7].Pouco se sabe a respeito das configurações centrais para n ≥ 4. Para o caso colinear, Moulton [8] mostrou que existem n!/2 possíveis configurações centrais, uma para cada ordenação das massas, para qualquer escolha de massas positivas. Para o caso das configurações centrais planares, onde as partículas estão num mesmo plano, sabe-se, dentre outras coisas, que n partículas de massas iguais sobre os vértices de um n-ágono regular formam uma configuração central, generalizando assim o resultado de Lagrange quando n = 3. Vale observar que uma configuração central planar dá origem a uma família deórbitas na qual cada partícula descreve uma

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Finiteness of relative equilibria of the four-body problem

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Finiteness of spatial central configurations in the five-body problem

Finiteness of spatial central configurations in the five-body problem

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