Diophantine aspects of the Calkin-Wilf iteration

Abstract

Dedicated to Prof. Dr. K.-H. Indlekofer at the occasion of his 65th birthday The Calkin-Wilf matrix iterationThe Calkin-Wilf tree is generated by the iterationstarting from the root . Obwohl die rationalen Zahlen bekanntlich abzählbar sind, ist eine " vernünftige" systematische Aufzählung nicht offensichtlich. Eineübersichtliche Möglichkeit bietet der sogenannte Calkin-Wilf-Baum. Dieser Graph mit der Wurzel 1 listet sukzessive alle positiven rationalen Zahlen nach einer sehr einfachen Iterationsvorschrift auf. In dem nachfolgenden Beitrag betrachten die Autoren diese Iterationen aus dem Blickwinkel ganzzahliger (2 × 2)-Matrizen mit Determinante 1 und können daraus Erkenntnisse für Calkin-Wilf-Bäume mit beliebigen reellen Wurzeln gewinnen. Damit können sie beispielsweise klären, welche Zahlen in einem Baum mit beliebiger reeller Wurzel auftreten.

The (u,v)-Calkin–Wilf forest

“…In addition to enumerating the positive rationals, the Calkin-Wilf tree has many interesting properties and generalizations that have been explored by various researchers (for example, [3,4,5,6,8,9,10,12,13,14,15]). In particular, as in [12], we highlight the following four properties.…”