Continuation of blowup solutions of nonlinear heat equations in several space dimensions

Galaktionov, Victor A.; Vázquez, Juan Luís

doi:10.1002/(sici)1097-0312(199701)50:1<1::aid-cpa1>3.0.co;2-h

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“…Aquí se introdujo un concepto nuevo de solución débil, denominada solución propia minimal (estudiado por Váquez y Galaktionov en [19,20,43,48]), que bien puede ser una solución clásica bajo algunas consideraciones.…”

Section: X T) = Div(k(x)∇u(x T)) + F (X T U(x T) ∇U(x T))unclassified

“…Hoy en día existen muchos trabajos que tratan sobre a la existencia de soluciones explosivas en problemas de difusión -reacción [2,3,5,6,8,9,10,12,13,15,16,18,19,20,25,27,28,29,30,35,36,41,42,43,44,48,49]. Algunos de estos trabajos discuten la posibilidad de extender las soluciones definidas localmente en [0, T ) a [0, +∞) y que exponen además resultados correspondientes los denominados exponentes de fujita los cuales permiten dar una respuesta apriori sobre la presencia de soluciones explosivas para determinadas ecuaciones de la forma (4) con m = 1ó F (∆u(x, t), x) = ∆u(x, t) en (5).…”

Section: X T) = Div(k(x)∇u(x T)) + F (X T U(x T) ∇U(x T))unclassified

“…El concepto de solución propia minimal fue introducido por Baras y Cohen [6] y fue desarrollado por Galaktionov y Vazquez [19,20] para el caso de problemas de difusión -reacción con condiciones de frontera tipo Dirichlet.…”

Section: Solución Propia Minimal De Un Problema De Difusión -Reacciónunclassified

“…Sea X un espacio de Banach, por ejemplo X = L 2 (Ω), y B ⊂ X, el cual puede se puede tomar de tal forma que la ecuación de (6) genere un semigrupo {T (t)} t≥0 en B. Según [20] es posible tomar…”

Section: Solución Propia Minimal De Un Problema De Difusión -Reacciónunclassified

“…Para la demostración de este resultado se necesita conocimientos avanzados de la Teoría de Semigrupos, la cual se puede consultar en [20].…”

Section: Teorema 1 Sea T (T) La Extensión De G(t) Entonces {T (T)} unclassified

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Global existence and blow up of the solution of a problem diﬀusion reaction

Saucedo¹

2017

Sel.mat

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Keywords. diffusion -reaction problem, global existence, local existence, blow up solution, blow up time 1. Introducción. Muchos problemas físicos son modelados analizando el balance de dos fenómenos: la difusión y la reacción. Según [47], puede entenderse al primero como la dispersión de las especies (sustancias) involucradas en el proceso a lo largo del dominio físico del problema (movimiento local), y el segundo, como el proceso de interacción mediante el cual se generan o se consumen las especies involucradas (crecimiento, cambios de estado, etc).Las ecuaciones de difusión -reacción son modelos matemáticos que explican cómo la concentración de una o más especies distribuidas en un espacio (dominio físico) se transforman bajo la influencia de dos procesos: reacciones químicas locales y difusión. Estos tipos de ecuaciones cubren una amplia variedad de modelos físicos en muchos campos de la ciencia, como por ejemplo, procesos biológicos de aparición de manchas en la piel de ciertos animales [30,47], ondas viajantes [23,30,46], dinámica de poblaciones y reacciones químicas [30], entre otros.En general, una ecuación de difusión -reacción es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de la forma:(1) ∂u ∂t (x, t) = div (k(x).∇u(x, t)) + f (x, t, u(x, t), ∇u(x, t)),

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Section: X T) = Div(k(x)∇u(x T)) + F (X T U(x T) ∇U(x T))unclassified

Section: Solución Propia Minimal De Un Problema De Difusión -Reacciónunclassified

“…Para la demostración de este resultado se necesita conocimientos avanzados de la Teoría de Semigrupos, la cual se puede consultar en [20].…”

Section: Teorema 1 Sea T (T) La Extensión De G(t) Entonces {T (T)} unclassified

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Global existence and blow up of the solution of a problem diﬀusion reaction

Saucedo¹

2017

Sel.mat

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Thermal avalanche for blowup solutions of semilinear heat equations

Quiros

Rossi

Vázquez

2003

Comm Pure Appl Math

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We consider the semilinear heat equation u t = u + u p both in R N and in a bounded domain with homogeneous Dirichlet boundary conditions, with 1 < p < p s where p s is the Sobolev exponent. This problem has solutions with finite-time blowup; that is, for large enough initial data there exists T < ∞ such that u is a classical solution for 0 < t < T , while it becomes unbounded as t T . In order to understand the situation for t > T , we consider a natural approximation by reaction problems with global solution and pass to the limit. As is well-known, the limit solution undergoes complete blowup: after it blows up at t = T , the continuation is identically infinite for all t > T .We perform here a deeper analysis of how complete blowup occurs. Actually, the singularity set of a solution that blows up as t T propagates instantaneously at time t = T to cover the whole space, producing a catastrophic discontinuity between t = T − and t = T + . This is called the "avalanche." We describe its formation as a layer appearing in the limit of the natural approximate problems. After a suitable scaling, the initial structure of the layer is given by the solution of a limit problem, described by a simple ordinary differential equation. As t proceeds past T , the solutions of the approximate problems have a traveling wave behavior with a speed that we compute. The situation in the inner region depends on the type of approximation: a conical pattern is formed with time when we approximate the power u p by a flat truncation at level n, while for tangent truncations we get an exponential increase in time and a diffusive spatial pattern.

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On Nonexistence of type II blowup for a supercritical nonlinear heat equation

Matano

Merle

2004

Comm Pure Appl Math

130

169

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In this paper we study blowup of radially symmetric solutions of the nonlinear heat equation u t = u + |u| p−1 u either on R N or on a finite ball under the Dirichlet boundary conditions. We assume that the exponent p is supercritical in the Sobolev sense, that is,We prove that if p s < p < p * , then blowup is always of type I, where p * is a certain (explicitly given) positive number. More precisely, the rate of blowup in the L ∞ norm is always the same as that for the corresponding ODE dv/dt = |v| p−1 v. Because it is known that "type II" blowup (or, equivalently, "fast blowup") can occur if p > p * , the above range of exponent p is optimal. We will also derive various fundamental estimates for blowup that hold for any p > p s and regardless of type of blowup. Among other things we classify local profiles of type I and type II blowups in the rescaled coordinates. We then establish useful estimates for the so-called incomplete blowup, which reveal that incomplete blowup solutions belong to nice function spaces even after the blowup time.

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Continuation of blowup solutions of nonlinear heat equations in several space dimensions

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Global existence and blow up of the solution of a problem diﬀusion reaction

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Thermal avalanche for blowup solutions of semilinear heat equations

On Nonexistence of type II blowup for a supercritical nonlinear heat equation

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