Caminhadas com memória em meios regulares e desordenados: aspectos estáticos e dinâmicos

Abstract

Ao meu orientador Prof. Dr. Alexandre Souto Martinez, pela amizade e solicitude ao guiar-me desde a Iniciação Científica até o final do mestrado.Ao meu segundo orientador, Prof. Dr. Marco Antônio Alves da Silva, seu convite permitiu minha participação no desenvolvimento do estudo sobre a caminhada aleatória autorrepulsiva presente nessa dissertação. Propomos o estudo do meio desordenado onde a caminhada determinista parcialmente autorrepulsiva (CDPA)é desenvolvida e o estudo da caminhada aleatória autorrepulsiva (SAW) em rede regular. O meio desordenado na CDPA, gerado por um processo Poissônico espacial,é caracterizado pela estatística de vizinhança e de distâncias. A estatística de vizinhança mede a probabilidade de um ponto ser mesimo vizinho mais próximo de seu n-ésimo vizinho mais próximo. A estatística de distâncias mede a distribuição de distância de um ponto ao seu k-ésimo vizinho mais próximo. No problema da estatística de distâncias, calculamos a função densidade de probabilidade (pdf) e estudamos os casos limites de alta ordem de vizinhança e alta dimensionalidade. Um caso particular dessa pdf pode verificar se um conjunto de pontos foi gerado por um processo Poissônico. Na SAW em rede regular, um caminhante escolhe aleatoriamente um sítio adjacente para ser visitado no próximo passo, masé proibido visitar um sítio duas ou mais vezes. Desenvolvemos uma nova abordagem para estudar grandezas conformacionais por meio do produto escalar entre o vetor posição e vetor deslocamento no j-ésimo passo: R j · u j N . Mostramos que para j = N o produto escalaré igual ao comprimento de persistência (projeção do vetor posição na direção do primeiro passo) e que converge para uma constante. Calculamos a distância quadrática média ponta-a-ponta, R 2 N N ∼ N 2ν 0 , como o somatório de 1 ≤ j ≤ N do produto escalar. Os dados gerados pelo algoritmo de simulação Monte Carlo, codificado em linguagem C e paralelizado em MPI, fornecem o expoente ν 0 da regra de escala R j · u j N ∼ j 2ν 0 −1 , para 1 ≤ j ≤ Θ(N ), próximo ao valor esperado. A partir de Θ(N ) ≈ N/2 para rede quadrada e Θ(N ) ≈ N/3 para rede cúbica, a caminhada torna-se mais flexível devido ao maior número de graus de liberdade disponível nosúltimos passos. We propose the study of disordered media where the deterministic partially selfavoiding walk (DPSW) is developed and the study of self-avoiding random walk (SAW) in regular lattices. The disordered media in the DPSW, generated by a spatial Poissonian process, is characterized by neighborhood and distance statistics. Neighborhood statistics quantifies the probability of a point to be the mth nearest neighbor of its nth nearest neighbor. Distance statistics quantifies the distance distribution of a given point to its kth nearest neighbor. For the distance statistics problem, we obtain the probability density function (pdf) and study the high dimensionality and high neighborhood order limits. A particular case of this pdf can verify if a points set is generated by a Poissonian process. In a SAW in regular latti...