Arithmetic of linear forms involving odd zeta values

Abstract

A general hypergeometric construction of linear forms in (odd) zeta values is presented. The construction allows to recover the records of Rhin and Viola for the irrationality measures of ζ(2) and ζ(3), as well as to explain Rivoal's recent result (math.NT/0008051) on infiniteness of irrational numbers in the set of odd zeta values, and to prove that at least one of the four numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), and ζ(11) is irrational.

A refinement of Nesterenko’s linear independence criterion with applications to zeta values

“…at odd integers l > 1; see [1,2,7,11,20,22] for history and known results in this arithmetic direction. The following theorem improves on previous bounds (i 1 are linearly independent over Q.…”

Арифметические Гипергеометрические Ряды

“…неожиданного доказательства иррациональности ζ(3), следует упомянуть со-всем недавние результаты К. Болла и Т. Ривоаля [15], а также результаты автора [163], [173], в которых помимо прочего показано, что последователь-ность ζ(3), ζ(5), ζ(7), . .…”

“…, ζ(21) иррационально. Наконец, использование наиболее общей формы конструкции, предложенной в работах Ривоаля, а также арифметического метода (см., например, [42], [126], [75]), тра-диционно применяемого для улучшения оценок меры иррациональности чисел, позволяет получить [162], [173] следующий результат. Теорема 2.…”

Интегралы Рина

“…Однако после Апери с помощью различных обобщений были доказаны интересные результаты. Отметим, в частности, результат Т. Ривоаля [3] о бесконечности раз-мерности Q-линейного пространства, порожденного значениями ζ(2n + 1), а также результат Зудилина [4] об иррациональности по крайней мере одного из четырех чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ (11). Для доказательства этих фактов использовались ли-нейные формы от нескольких значений дзета-функции Римана в нечетных точках.…”