An Invariance Principle for Nonlinear Discrete Autonomous Dynamical Systems

Alberto, Luís; Calliero, Taís R.; Martins, Aline Redondo

doi:10.1109/tac.2007.894532

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“…Encontrar tal função, satisfazendo todas as suposições do princípio de invariância, pode ser difícil para muitos sistemas dinâmicos. Portanto, uma extensão do princípio de invariância, a qual permite que a derivada da função auxiliar possa ser positiva em alguns conjuntos limitados, foi proposta para sistemas contínuos em [11], para sistemas discretos em [1], para sistemas com atraso em [10] e para sistemas chaveados não lineares em [12].…”

Section: Introductionunclassified

Uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados afins

Pinto¹,

Alberto²,

Valentino³

2018

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Neste trabalho, apresentamos uma extensão do princípio de invariância de LaSalle para uma classe de sistemas chaveados contínuos não lineares, a saber, sistemas chaveados afins. Este resultado permite estudar, usando uma função auxiliar comum, o comportamento assintótico de soluções "dwell-time"do sistema chaveado afim sob chaveamento arbitrário. A extensão do princípio de invariânciaéútil para obter estimativas de conjuntos atratores de sistemas chaveados afins. Esta utilidadeé ilustrada em aplicações deste princípio na obtenção de estimativas do atrator em um exemplo de sistemas dinâmicos de segunda ordem.Palavras-chave. Princípio de invariância de LaSalle, Sistemas chaveados contínuos Afins, conjuntos atratores,área de atração. IntroduçãoNasúltimas décadas, tem-se observado um crescente interesse da comunidade científica no estudo do problema de estabilidade e estabilização de sistemas chaveados. Estes problemas surgem em muitas aplicações de engenharia tais como: controle de sistemas mecânicos, controle de processos, sistemas de potência, controle de aeronaves, indústria automotiva, eletrônica de potência e muitos outros campos [8]. De modo geral, o sistema chaveadoé um sistema dinâmico que consiste de uma família de subsistemas (ou modos) e uma lei de chaveamento que seleciona a cada instante de tempo qual subsistema deve ser ativado [7].Apesar de importantes avanços na teoria de estabilidade, os atratores de diversos sistemas chaveados podem não ser um ponto de equilíbrio, como por exemplo o sistema de controle de temperatura liga-desliga. Então, para essa classe de problemas, o interesse nãoé estudar a estabilidade de um ponto de equilíbrio particular, mas o comportamento assintótico das soluções. Uma das ferramentas mais importantes para estudar o comportamento assintótico das soluções de sistemas dinâmicosé o Princípio de Invariância de LaSalle. Este resultado foi primeiramente desenvolvido para equações diferenciais ordinárias 1

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Section: Introductionunclassified

Uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados afins

Pinto¹,

Alberto²,

Valentino³

2018

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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“…Esta extensão foi provada para outras classes de sistemas [1,6,8,10,11]. Além da sua importância na teoria de estabilidade de sistemas dinâmicos não lineares, a extensão do princípio de 2 invariância foi aplicada com sucesso em problemas de análise de estabilidade de sistemas elétricos de potência [2], e em problemas de sincronização [5,8,10].…”

Section: Introductionunclassified

unclassified

Um Princı́pio de Invariância Uniforme para Sistemas Periódicos

Coimbra¹,

Costa²

2016

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Uma versão uniforme do princípio de invariância de LaSalle para sistemas periódicosé proposto e demonstrado neste trabalho. Esta versãoéútil para obter estimativas uniformes, com relação aos parâmetros, do atrator e da região de atração de um sistema dinâmico periódico.Palavras-chave. Princípio de Invariância, Uniforme, LaSalle, Sistema Dinâmico, Periódico 1 Introdução O Princípio de Invariância de LaSalle [3,4] estuda o comportamento assintótico das soluções de um sistema sem a necessidade de conhecer explicitamente as soluções das equações diferenciais. Para isto, uma função escalar auxiliar, usualmente denominada função de Lyapunov,é utilizada. Mesmo sendo um resultado de extrema importância em diversas aplicações, apresenta alguns problemas, sendo o principal deles a não existência de um método específico para encontrar a função escalar auxiliar ou também chamada função de Lyapunov. Uma das condições mais restritivas na busca por esta funçãoé que a derivada da mesma deve ser semi-definida negativa ao longo das trajetórias do sistema. Em vários sistemas,é difícil encontrar uma função escalar satisfazendo as condições do princípio de invariância e em particular satisfazendo a condição da derivada ser semi-definida negativa.Uma versão mais geral do princípio de invariância, denominada extensão do princípio de invariância de LaSalle, simplifica em parte este problema, permitindo que a derivada da função escalar assuma valores positivos em algumas regiões limitadas do espaço. Esta extensão foi provada para outras classes de sistemas [1,6,8,10,11]. Além da sua importância na teoria de estabilidade de sistemas dinâmicos não lineares, a extensão do princípio de 1

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“…For ordinary differential equations, see 8, 9 and for discrete differential systems, see 10 . The main advantage of these extensions is the possibility of applying the invariance theory for a larger class of systems, that is, systems for which one may have difficulties to find a scalar function satisfyingV ≤ 0.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

An Extension of the Invariance Principle for a Class of Differential Equations with Finite Delay

Rabelo

Alberto

2010

Advances in Difference Equations

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An extension of the uniform invariance principle for ordinary differential equations with finite delay is developed. The uniform invariance principle allows the derivative of the auxiliary scalar function V to be positive in some bounded sets of the state space while the classical invariance principle assumes thatV ≤ 0. As a consequence, the uniform invariance principle can deal with a larger class of problems. The main difficulty to prove an invariance principle for functional differential equations is the fact that flows are defined on an infinite dimensional space and, in such spaces, bounded solutions may not be precompact. This difficulty is overcome by imposing the vector field taking bounded sets into bounded sets.

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An Invariance Principle for Nonlinear Discrete Autonomous Dynamical Systems

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Uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados afins

Uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados afins

Um Princı́pio de Invariância Uniforme para Sistemas Periódicos

An Extension of the Invariance Principle for a Class of Differential Equations with Finite Delay

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