A note on the numerical approximate solutions for generalized Sylvester matrix equations with applications

On model reduction of K-power bilinear systems

“…In practice, one can use some approximate methods, such as Krylov subspace methods for Sylvester equations (Hu and Reichel 1992;Li 2000), to solve the involved large-scale matrix equations at far lower cost. Further, noting thatP ,Q ∈ R n×r are high dimensional but thin matrices, the specific method proposed in Bouhamidi and Jbilou (2008) and Hodel and Misra (1997) fits into this situation and works efficiently. • In step (2), the projection matrices are defined directly via the matricesP jj andQ jj .…”

Extended Krylov subspace for parameter dependent systems

“…see, e.g., [6,9,20,22,31,33]. In the Extended Krylov subspace context, we can generate the matrices V m , T m by means of Algorithm 1, and then, following the Galerkin requirements, project the problem onto the space and require that the residual be orthogonal to it.…”

An Overview of Recent Developments and Applications of the GMRES Method

“…GMRES 算法还可用于求解诸如最优控制、滤波估计、去耦、降阶等控制理论中的微分 Riccati 方程 [27] 。在 大特征值问题和边值问题中会出现多元线性系统， 线性控制、 滤波理论、 图像修复等方面包含了著名的 Lyapunov 矩阵方程、Sylvester 矩阵方程和 Stein 矩阵方程，这些方程同样是典型的多元线性系统问题，全局 GMRES 算法 正好为这些问题的解决提供了一个很好的工具，不同的数值实验更显示出该方法收敛行为方面的优势 [28,29] 。 GMRES 算法还用于求解 Toeplitz 方程、Helmholtz 方程和 Navier-Stokes 方程等，预处理 GMRES 并行算法也得 到了很好的应用 [30][31][32][33] 。在太阳物理的研究中，我国科学家颜毅华于 1995 年首次推导出太阳常 alpha 无力场的边 界积分表示， 并用边界元方法实现了数值求解 [34] ； Li 等人 2007 年对颜毅华的算法进行了改进， 他们引入 GMRES 算法来解决边界元方程组；由此，对 10,000 阶以上的矩阵，用 GMRES 算法使得计算效率提高了 1000~9000 倍 [35] 。 [20] 实型 Laplace 变换的线性方程组 光谱延迟修正技术 [21] 微分代数方程的初始值问题 控制、光辐射和流体力学 [23][24][25][26] 近海水域控制方程、光学辐射传输方程、计算流体力学 Euler 方程 控制理论 [27] 微分 Riccati 方程 大型奇异值问题 [28] 广义希尔维斯特矩阵方程 太阳物理研究 …”